В родном городе актер окончил среднюю общеобразовательную школу. После окончания школы Андрей Кузнецов-Вечеслов стал студентом Хореографического училища им. А. Я. Вагановой. Окончив его, Андрей поступил в Ленинградскую государственную консерваторию. Затем, в период с 1970 по 1976 год, был артистом балета Кировского театра. В 1976 году Кузнецов-Вечеслов перешел на работу в Петрозаводский музыкальный театр на должность главного балетмейстера. Там вместе со Святославом Кузнецовым в 1977 году поставил балет «Сказка о попе и работнике его Балде», в 1978 году - «Вестсайдскую историю», в 1979 году вышла новая работа Андрея Кузнецова-Вечеслова – балет «Ромео и Юлия».
В Петрозаводском музыкальном театре Андрей Святославович проработал до 1983 года, а затем перешел в Ленинградский драматический театр им. Ленсовета, в котором работал балетмейстером с 1983 до 1985 года. С 1991 по 1995 год Андрей Кузнецов-Вечеслов был художественным руководителем, а также совладельцем частной балетной труппы «Санкт-Петербургский Маленький балет».
