Александр Алексеев получил актерское образование в Ленинградском институте театра, музыки и кинематографии, где обучался на курсе великого актера Василия Меркурьева. По окончании обучения в 1969 году актер был определен в Волгоград, где планировалось создать новый молодежный театр. С 1974 года Александр Алексеев работал в Ленинградском ТЮЗе, куда был специально приглашен. На этой сцене он сыграл более 50 ролей.
В числе заслуг Александра Алексеева следует упомянуть также о том, что он был одним из основателей театра «Интерптелье», открытого в 1990 году, а в 2000 году он способствовал организации Союза Правых Театра.
В кино актер дебютировал в возрасте 24 лет, снявшись в эпизоде военной драмы «Красная метель», поставленного на студии «Молдова-фильм» режиссером Василием Паскару в 1971 году по одноименной повести Георге Маларчука. В 1976 году он появился вместе с Зиновием Гердтом и Михаилом Львовским в музыкальной комедии Евгения Шерстобитова «Я больше не буду».
В 80-е годы Александра Алексеева можно было увидеть в незначительных ролях в таких картинах, как «Ожидание», «Челюскинцы», «Софья Ковалевская» и «Эти… три верные карты». В 1990 году актер снялся в экранизации повести Достоевского «Вечный муж», в криминальной драме «Сатана», а затем в 1992 году появился в совместной российско-германской телеэкранизации «Дымъ» по одноименному роману Тургенева. В 1993 году он сыграл одну из главных ролей, князя Долгорукого, в драме «Роман императора».
С 2000 года Александр Алексеев нередко появлялся в телевизионных сериалах, таких как «Улицы разбитых фонарей», «Бандитский Петербург» и «Тайны следствия». Из киноработ актера этого периода следует упомянуть фильмы «Морской узел», «Любовь императора», «Когда растаял снег» и «Ельцин. Три дня в августе».
Параллельно он в качестве актера сотрудничал с «Нашим театром», а с 2007 года играл в «Таком Театре». В том же году Александр Алексеев удостоен звания заслуженного артиста России.
