В 1975 году Александр Анатольевич окончил курс Н. А. Анненкова Высшего театрального училища имени М. С. Щепкина. После окончания учебы его приняли в труппу театра «Эрмитаж».
Кинокарьера артиста началась в 1975 году с роли Граммофона в киноповести Константина Бромберга «У меня есть лев». Картина рассказывала о произошедшей в реальности истории воспитания льва Кинга в семье Берберовых.
Спустя 12 лет, в 1987, он сыграл фотографа в школьном фильме ужасов «Дом с привидениями». Затем Александр Пожаров принял участие в съемках картины «Нелюбовь», после чего надолго исчез с экранов.
С 1987 года Александр Пожаров озвучивает мультфильмы. За свою актерскую карьеру он подарил свой голос персонажам почти трех десятков мультфильмов, среди них: «Молочный Нептун», «Большой Ух», «Изобретение», «Капитан Пронин — внук майора Пронина», «Приключения Мюнхгаузена. Волк в упряжке», «Братья Пилоты вдруг решили поохотиться», «Незнайка на Луне», «Незнайка и Баррабасс», «Ворон-обманщик», «Бабка Ежка и другие», «Элька», «Приключения Аленушки и Еремы» и «Десантник Степочкин-2».
В 1998 году актер впервые появился в образе Шуры Каретного, вечно матерящегося человека, якобы, неоднократно отбывавшего наказание в местах лишения свободы. Используя популярный образ Шуры, Пожарский записал несколько аудиокассет, которые разошлись миллионными тиражами.
В двухтысячном году Александр Пожаров вернулся в кино, снявшись в телесериале «Марш Турецкого». В 2001 году артист исполнил роль Отца Гамадрила в фильме «ДМБ: Снова в бою». В том же году он принял участие в съемках ленты «Клетка». В 2002 году фильмография Пожарова пополнилась работами в «Азазели», «Атлантиде» и «Светских хрониках».
В 2008 году актер появился в роли доктора Барашкевича в ремейке американского фильма 1953 года с Одри Хепберн «Римские каникулы» – «Все могут короли». В 2011 году вышла комедия «Суперменеджер, или Мотыга судьбы», в которой Пожаров сыграл Барнса.
