Алексей с детства мечтал об актёрской карьере, поэтому после школы решил поступать в театральный ВУЗ. Выбор пал на Ленинградский Государственный Институт театра и кинематографии. Шевченко не испытал особых трудностей при вступительных испытаниях, поэтому ему удалось стать студентом театрального ВУЗа с первой попытки. Он окончил актёрский курс Дмитрия Астрахана в 1996 году и переехал в Москву.
В столице Алексей был принят в труппу Московского драматического театра под руководством Армена Джигарханяна. На сцене этого театра актёр сыграл немало интересных ролей в таких постановках, как «Ревизор», «Закрой глазки – расскажу тебе сказки», «Три сестры» и «Крошка Алиса».
На экране Шевченков впервые появился в 1994 году. Он снялся в роли Саши Милашевского в фильме Киры Муратовой «Увлечение». Через три года, в 1997 году, актёр снова сыграл в ленте Муратовой, на этот раз в криминальной комедии «Три истории».
В 1998 году Алексей Шевченков снялся в мелодраме Павла Павликовского «Стрингер» вместе с Сергеем Бодровым-младшим, Владимиром Ильиным и Леонидом Куравлёвым. Неплохо артист выступил в эпизоде криминальной драмы Станислава Говорухина «Ворошиловский стрелок», вышедшей на экраны в 1999 году. В том же году вышла лента Дениса Евстигнеева «Мама» с участием Алексея.
Затем Шевченков снялся в нескольких телевизионных сериалах, среди которых: «Марш Турецкого», «Гражданин начальник», «Каменская», «Дальнобойщики» и «Закон». В 2002 Шевченков снялся в телесериале «Тайга. Курс выживания», который сделал его популярным и известным актёром.
С тех пор Алексей закрепил за собой статус сериального актёра и снимается в основном в многосерийных проектах. Однако время от времени его приглашали в полнометражное кино. Его актёрскую работу можно оценить в таких картинах, как «Русское», «Игры мотыльков», «Солдатский Декамерон», «Грозовые ворота» и «Реальный папа».
