С профессией Настя определилась, еще учась в школе. По окончании среднего образования Анастасия дважды пыталась поступить в театральное училище в родном городе, но ее не принимали. На третий год она решила попытать счастья в Москве. Там Бусыгину приняли в три учебных заведения сразу: во ВГИК, в Театральное училище имени Щукина и в Школу-студию МХАТ, на которой девушка и остановила свой выбор (мастерская Аллы Покровской). Когда начинающая актриса училась на последнем курсе, на Театральный фестиваль имени Чехова в Москву приехал с труппой Пикколо Театро ди Милано Джорджо Стеллер, который помимо представления спектакля «Остров рабов» собирался провести кастинг среди российских актеров и выбрать кого-то для участия в международном проекте — спектакле по шекспировскому «Сну в летнюю ночь». Предполагалось, что в постановке будет задействовано по одному актеру от каждой из стран, где гастролировал Стеллер со своей командой. Бусыгина пришла на пробы, и ей дали роль. С согласия Покровской Бусыгина на год уехала в Пикколо оттачивать мастерство. Самым ценным для Анастасии в этом опыте была возможность свободной импровизации. Стеллер помог ей научиться самостоятельно выстраивать роль.
Выпустившись из Школы-студии, артистка начала играть в спектаклях Московского художественного театра имени Чехова. В постановке пьесы Мольера «Скупой» она исполняла роль Элизы, несостоявшейся невесты старика Ансельма, взаимно влюбленной в его сына. На подмостках театра актриса имела возможность попробовать себя в самых разных образах. В «Волках и овцах» по Островскому Анастасия играла Глафиру Алексеевну, хитрую бесприданницу, женившую на себе богатого мирового судью Лыняева, в спектакле «Вечно живые» по пьесе Розова — лощеную Монастырскую.
В кино Бусыгина впервые выступила в сериале «Клубничка» (1997) в эпизодической роли Гали. Дальнейшая кинокарьера Анастасии развивалась преимущественно в сериалах: «Чехов и Ко», «Безликие люди», «Автономка», «Эксперты», «Кто в доме хозяин», «Час Волкова», «МУР есть МУР-2», «Бесконечность», «Шаг за шагом», «Морозов», «Рыжая», «Сеть», «Превратности судьбы», «Черчилль», «Раскрутка», «Русский шоколад», «Метод Лавровой». Актрисе достаются главным образом второстепенные роли, но это компенсируется количеством картин, в которые Бусыгину приглашают сниматься, что свидетельствует о востребованности артистки и разноплановости созданных ею образов.
В 2012 году Анастасия сыграла роль бывшего врача Лейлы, родной сестры главного героя в мини-сериале «Белый человек». В 2013 стартовал сериал «Умельцы», где Бусыгина играет роль Марины.
На сегодняшний момент актриса живет в Москве, работает в Центральном академическом театре Российской Армии, где выступает с собственными проектами, а также участвует в спектаклях театра «Империя звезд». Время от времени Бусыгина приезжает в родной город с литературными концертами: читает Блока, Маяковского, Цветаеву.
