В юности Андрею Львовичу пришлось много ездить по югу России. В конце концов, он добрался до Москвы, где устроился работать слесарем. Также он поступил учиться в кинематографическую студию А. Хохловой. (Однако через какое-то время ушёл от преподавателя и начал учиться у сестры К. Станиславского – З. Соколовой.) В 1926 году он стал сотрудником студии Малого театра. Правда, в то время, ролей актёру еще не давали…
В 1929 году актёра Студии Малого театра, не сыгравшего ни в одном фильме, утвердили на роль Мелихова в немом кинофильме «Тихий Дон». Режиссёры О. Преображенская и И. Правов объясняли это тем, что актёр поразил их своим невероятным сходством с тем, каким они представляли шолоховского героя. Именно эта картина принесла актёру известность. Андрею Абрикосову удалось показать сильный, но в тоже время противоречивый характер своего героя. Огромный успех кинокартины во многом определил творческую судьбу молодого актёра.
В том же 1929 году Андрей Абрикосов ушёл из Студии Малого театра и до 1931 года работал в Московском передвижном театре. В 1931-1937 годах актёр работал в Московском Реалистическом театре, а следующие два года – в Камерном. В 1938 году он перешёл в театр им. Е. Вахтангова, где 1953-1959 годах перешёл на должность директора театра. В 1945 году Андрей Абрикосов снялся в драме «Иван Грозный», где ему удалось удачно создать образ митрополита Филиппа. Актёр сыграл и в других исторических фильмах: Степана Разина – в одноимённом фильме и князя Владимира – в киноленте «Илья Муромец» (1956). Андрей Абрикосов сыграл и в ныне забытых советских фильмов: «Великий перелом», «Встречный». Амплуа Андрея Абрикосова – военные, штатские, патриоты, революционеры, инженеры, летчики, партийные работники (Огнев – в фильме “Фронт” Сафонов – в “Русских людях”, Семён Котко – в “Шёл солдат с фронта”. В общей сложности на счету Андрея Львовича около тридцати сыгранных ролей.
