Как говорит сам Андрей, детство у него было счастливое. Несмотря на то, что отец постоянно был занят проектами в кино и театре, он находил время на сына и проявлял отцовскую любовь очень сильно.
В 1976 году Андрей Леонов окончил школу и в этом же году подал документы в Высшее театральное училище им. Б.В. Щукина. Будущий актер поступил на курс А.А. Казанской. По признаниям Леонова, поступать в театральное училище его подвигло желание сыграть в двух спектаклях – «Легенда о Тиле» и «В списках не значился».
В 1979 году Леонов окончил Щукинское училище и был успешно зачислен в труппу Ленкома. Однако в 1981 году он выступил с неожиданным заявлением – решил пойти в армию.
В армии Андрей Леонов пробыл 2 года, а по возвращении со службы сразу же женился. Его спутницей стала чилийка Алехандра Куэвас Сид, которая училась в то время на врача. В 1987 году в семье Леоновых появился первый ребенок.
Дебют в кино состоялся, когда Андрею было всего 13 лет. Ему досталась эпизодическая роль в драме «Гонщики», снятой Игорем Масленниковым. При этом главную роль в этом же фильме исполнил отец Андрея Евгений Леонов. Вторым проектом стал известный фильм «Обыкновенное чудо» режиссера Марка Захарова. И вновь Леонов появился в киноленте вместе со своим отцом. Андрей, будучи еще студентом, исполнил в этом фильме роль ученика охотника. Помимо Леоновых в «Обыкновенном чуде» снялось немало и других известных актеров: Александр Абдулов, Андрей Миронов, Юрий Соломин, Олег Янковский, Евгения Симонова, Екатерина Васильева, Ирина Купченко.
Вернувшись из армии, Андрей Леонов снова решил стать частью Ленкома, где и работает по настоящее время. Театр принес ему множество ролей. В частности, он продемонстрировал свое мастерство в таких спектаклях, как «Две женщины», «Женитьба Фигаро», «Поминальная молитва», «Вор» и другие.
Андрей Леонов постоянно был занят в театре, и в кино он не появлялся достаточно долгое время. В драме «Время и семья Конвей», снятой Владимиром Басовым в 1984 году, Леонов сыграл главную роль.
В 1990 году вышла фантастическая кинокартина «Подземелье ведьм». Здесь актеру досталась роль второго пилота. В начале 90-х годов Леонов блистал на экранах в спектаклях «Тени» и «Дорогая Памелла». После этого он перестал появляться на ТВ.
Возвращение произошло лишь спустя 10 лет. В 2001 году была выпущена картина «Женская логика», а в 2002 году – сериал «На углу у Патриарших-2». Позднее зрители увидели его в многосерийной киноленте «Богатство», снятой по роману Валентина Пикуля. В 2005 году увидел в свет сериал «Есенин», где он снялся вместе с Сергеем Безруковым, исполнившим главную роль.
Большая часть современных фанатов Андрея Леонова полюбила актера за роль многодетного отца в сериале «Папины дочки». Можно сказать, что именно этот проект и принес Леонову наибольшую популярность.
