Андрей родился 8 июля 1938 года в Москве в семье профессора Политехнического института. Маленький Андрей всегда тяготел к техническим наукам. Театром он увлекся только в старших классах, когда начал посещать драматический кружок. Педагоги отдавали Андрею главные роли в спектаклях. Однако после выпускного юноша решил поступить в Ленинградский химико-технологический институт, чтобы стать химиком. После окончания учебы молодого выпускника направили на работу в Институт пластических масс в Ленинград (в советское время существовала система государственного распределения на рабочие места). Но случай вернул Мягкова на актерскую стезю. Однажды в поисках талантливой молодежи в Ленинград приехали преподаватели Театрального училища им. Немировича-Данченко, и 23-летний специалист-химик пошел пробоваться на курсы талантливой молодежи при Школе-студии МХАТ. И его приняли! Причем экзаменаторы прервали Мягкова, даже не дослушав.
Так Мягков поступил в Школу-студию при МХАТ. Окончив ее в 1965-ом, он поступил в труппу театра «Современник», а спустя почти десять лет стал работать во МХАТе им. А. П. Чехова.
Дебют в кино состоялся в 1965 году, когда Андрей Мягков получил главную роль в фильме «Похождения зубного врача». В этой комедии он сыграл молодого врача-стоматолога, который обнаруживает, что его пациенты не чувствуют боли при удалении зубов. Он становится городской знаменитостью, все стараются попасть к нему на лечение, о нем пишут газеты, но это пристальное внимание неожиданно осложняет жизнь героя.
Через три года Мягков сыграл Алешу Карамазова в экранизации «Братья Карамазовы» (1968). Через год уже блистал в образе Герцена в фильме «Старый дом» (1969), еще год – и Мягков в роли Аркадия Гайдара в ленте «Серебряные трубы» (1970). Два года спустя Андрею Мягкову доверяют роль Владимира Ленина в фильме «Надежда» (1972). В общем, карьера в кино движется с удивительной скоростью. Массовая ошеломительная популярность приходит к нему в 1975, когда на экранах показывают комедию Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С легким паром!» Андрей играет доброго Женю Лукашина, который случайно попадает на Новый год к незнакомой женщине. Эта история покорила сердца миллионов. Вот уже больше тридцати лет ее показывают под Новый год в России и странах СНГ. Это был хит времени, целое событие. 37-летний актер буквально просыпается кинозвездой. Триумф повторяется, спустя два года, когда в 1977-ом Эльдар Рязанов соединяет актрису Алису Фрейндлих и Андрея Мягкова в своей новой комедии «Служебный роман». Мягков играет скромного служащего Новосельцева, который влюбляется в строгую начальницу, «мымру» Калугину. Комедия всполошила советского зрителя не на шутку, вызвав бурю восторга. Мягкова возносят на пьедестал. Вслед за этим Андрей Мягков снимался в других качественных лентах («Жестокий романс», «Дни Турбиных» и др.), однако современный кинобизнес он так и не смог принять - актер отказывается сниматься в низкопробных сериалах. Зато появился в 2007-ом в «Иронии судьбы. Продолжение». «Безумной зрительской любви я никогда не ощущал, – признается 71-летний Андрей Васильевич. – Как большинство наших актеров, я нищенствую. Мои зарплаты мизерные и всегда такими были. Так что, например, спокойно пользуюсь метрополитеном. Народу в метро много, все куда-то спешат, людям дела нет до того, что ты артист».
