Анна Дубровская родилась 27 ноября 1972 года в Минске. Ее отец работал конструктором-изобретателем, а мать была актрисой и певицей Минского театра музыкальной комедии, позднее переименованного в Белорусский государственный музыкальный театр. Родители обеспечили маленькую Аню самым разносторонним образованием. Она брала уроки музыки, сочиняла стихи, занималась фигурным катанием. Талантливой девочке даже посвятили программу на местном телеканале, а поэтические творения и песни в ее исполнении иногда звучали в радиоэфире. Первый сценический опыт Анна получила в шесть лет. Ее утвердили на роль первоклассницы в телепостановке спектакля «Между "А" и "Б"».
Со временем Дубровская добилась определенного успеха в тех областях, которыми занималась вплотную. Так, ей присвоили юношеский спортивный разряд по фигурному катанию, она начала выступать с творческим ансамблем. Вследствие того, что детство Дубровской прошло за кулисами театра, где работала ее мать, она проникалась творческой атмосферой и заразилась тягой к драматическому искусству. Даже среднее образование девочка получала в специальной школе с театральным уклоном. Когда пришло время поступать в вуз, выбор Дубровской пал на театральный городской институт. Но ей не удалось пройти вступительные испытания, и приемная комиссия вынесла вердикт о профнепригодности девушки к актерской карьере. Несмотря на неутешительный старт, Дубровская не сдалась. Она приняла бескомпромиссное решение ехать в Москву и пробовать свои силы в столичных вузах. В 1990 году Анна оказалась в мегаполисе. Девушка подала документы в Театральный институт имени Б. Щукина. При сдаче вступительных экзаменов Дубровская получила не самые завидные оценки по нескольким непрофильным дисциплинам, но все же смогла попасть в ряды студентов «Щуки». По большей части это произошло благодаря содействию ее будущего преподавателя Владимира Иванова, заметившего в абитуриентке талант и пожелавшего видеть ее на своем курсе. Впоследствии Иванов неоднократно привлекал Дубровскую к участию в своих театральных постановках.
Уже через год после поступления Анна вышла замуж за однокурсника из Румынии Тудора Андронаки. Вскоре в молодой семье появился первенец – дочка Нина. В 1994 году Дубровская окончила институт. Ее дипломной работой стала роль в исторической мелодраме «Царская охота» того же Иванова. Выпускница сыграла одну из ключевых героинь Елизавету, претендентку на царский трон и сердце фаворита Императрицы Екатерины. Со временем постановка перекочевала на сцену Театра имени Евгения Вахтангова, где Анна осталась исполнительницей той же роли.
Дебютом Дубровской в кинематографе стало участие в сатирической комедии Сергея Никоненко «Хочу вашего мужа», вышедшей на экраны в 1992 году. Лента является экранизацией пьесы Михаила Задорнова «Последняя попытка», где Дубровская предстала любовницей главного героя, девушкой Оксаной. В 1997-м зрители могли увидеть Анну в исторической драме Владимира Попкова «Графиня де Монсоро». 2002 год ознаменовался для актрисы съемками в мистической притче Сергея Бодрова-младшего «Связной». Работа над печально известным проектом не была завершена, так как в Кармадонской ущелье, где находилась съемочная группа, произошел сход ледника. Практически вся команда, включая молодого режиссера, погибла. Анна Дубровская накануне трагедии уехала в Москву, чтобы выступить в спектакле. Через два года ее пригласили в фантастический боевик Тимура Бекмамбетова, снятый по мотивам романа Сергея Лукьяненко «Ночной дозор». Уже через год актриса появилась в сиквеле успешной ленты «Дневной дозор». В 2010 году Дубровская приняла участие в создании документальной картины «Сергей Бодров. Он просто ушел в горы».
