Родился Галкин 19 сентября 1947 года в послевоенном Ленинграде. Отец мальчика был закройщиком, он много работал в артели и почти все время отсутствовал дома. Со временем семья переехала в Ригу. Отец получил должность сапожника в Театре оперы и балета. Борис в это время только поступил в первый класс. С ранних лет мальчик отличался крепким физическим сложением, так как активно занимался различными видами спорта, от гимнастики до вольной борьбы. Эти навыки были очень полезны в условиях рижской окраины. Уже тогда в городе полным ходом культивировалась нелюбовь к русским, и стычки между местным агрессивно-настроенным населением не были редкостью. Помимо спортивных увлечений, Борис питал интерес к поэзии. Первые актерские задатки в Галкине обнаружил преподаватель студии, где проходили литературные чтения, актер Константин Титов. Именно он помог подобрать близкие по духу стихи и организовать концерт. Впоследствии на чтения Бориса даже начали продавать билеты, что лишний раз подтверждало признание публики. Почувствовав в себе актерские способности, Галкин решил попробовать силы в столице.
В шестидесятых он отправился в Москву, где поступил в Театральное училище им. Б. Щукина. За время учебы молодой человек успел дебютировать в кинематографе. Первой работой стала роль лейтенанта в военной картине Александра Столпера «Возмездие». В фильме играли такие актеры, как Анатолий Папанов и Кирилл Лавров. Уже во время выпускного курса Галкин был принят в труппу Театра сатиры, где выходил на сцену в нескольких спектаклях вместе с Александром Ширвиндтом, Андреем Мироновым и Андреем Мироновым. Вскоре Борис перешел в Театр на Таганке. Со временем к актеру пришло ощущение, что профессия актера – не все, на что он способен, и не все, что ему интересно. Тогда Галкин подал документы в ГИТИС. На сей раз Борис выбрал режиссерское отделение. За это время Галкин не переставал играть в кино.
В 1969 году вместе он с Арменом Джигарханяном появился в драме Леонида Головня «Эхо далеких снегов», в 1970 – вместе с Натальей Гвоздиковой в мелодраме Бориса Яшина и Маноса Захариаса «Город первой любви», в 1972 – в исторической картине Сергея Колосова «Свеаборг». В 1974 году Галкин исполнил небольшую роль гонца в дебютной полнометражной приключенческой режиссерской работе Никиты Михалкова «Свой среди чужих, чужой среди своих». Но по-настоящему серьезную главную роль Галкин получил в 1977 году в остросюжетном боевике Андрея Малюкова «В зоне особого внимания». Фильм рассказывал правдивую историю о прапорщике и офицере, которым вместе с двумя солдатами во время учений удалось обезвредить банду беглых рецидивистов. Лента была удостоена главного приза за режиссуру на Фестивале молодых кинематографистов студии «Мосфильм», а также получила государственную премию РСФСР имени братьев Васильевых. Борис был награжден серебряной медалью имени Александра Довженко.
