В детстве Борис часто ходил в Одесский оперный театр. 14-летним юношей стал работать в нём статистом. Там ему позволяли выходить на сцену в массовках. Свою мечту стать актёром Борис Иванов воплотил в 1937 году, поступив в Театральное училище на актёрский факультет. Там он проучился до 1941 года. Праздничный банкет в честь дипломного спектакля, сыгранного 22 июня, отменили. Спустя две недели все актёры ушли на фронт. Борис попал в разведвойска. На фронте его тяжело ранили. Еле живого его нашли на поле среди мёртвых. С тех пор актёр, переживший клиническую смерть, считал, что у него два дня рождения.
В 44-ом году Борис Иванов вошёл в труппу Московского театра им. Моссовета. На его сцене он проработал всю жизнь, сыграв таких персонажей, как Доблмен – в «Краже», Форд – в «Виндзорских насмешницах», Лавр Мироныч – в «Последней жертве», Харт Кестель – в «Ошибках одной ночи», Господин – в «Бунте женщин», Сорин – в «Чайке». Не только актёрским дарованием он блистал на сцене. Природа наделила Иванова удивительным голосом, который он и демонстрировал всякий раз, когда шла рок-опера «Иисус Христос – суперзвезда» – в этой постановке он играл Понтия Пилата.
Первая роль в кино досталась ему довольно поздно, Жоржа Прадье в «Ночном пассажире» он сыграл, когда ему уже было за 40. В жизни доброжелательный и милый, на экране он зачастую представал в образах мерзавцев. За долгие годы съёмок в кино Борис Иванов сыграл целую галерею отрицательных персонажей, среди которых – убийцы, заговорщики, воры и интриганы. Наиболее яркими получились такие его экранные герои, как Лазоверт – в драме «Агония», Интригио – в сказке «Кольца Адьманзора», Лофтус – в историческом фильме «Россия молодая».
В последние годы своей жизни Борис Владимирович чувствовал себя неважно. Несмотря на это, он продолжал выходить на сцену. В 2002 году актёр даже отправился на гастроли в США с постановкой «Милый друг». В том же году он сыграл в спектакле «Комики» на сцене родного театра им. Моссовета.
2 декабря 2002 года Борис Иванов скончался. Его похоронили на Ваганьковском кладбище в Москве.
