Родился 13 июля 1944 года в Москве. Когда Борису было 4 года, его отец Владимир, будучи на гастролях, скончался от сердечного приступа. На тот момент его матери было всего 29 лет, однако она так больше и не вышла замуж: сын испытывал неприязнь ко всем посторонним мужчинам в доме.
В школе Клюев учился не очень хорошо, часто прогуливал уроки. Спасла его актриса Клавдия Половикова, которая поставила в школе спектакль «Чертова мельница». Борису досталась роль черта первого разряда. Дебют оказался настолько удачным, что на следующий день бывший двоечник превратился в школьную звезду. Именно тогда у него появилась мечта поступить в Щукинское училище, которое в свое время закончил его отец. Однако ей не суждено было сбыться: Борис сдал вступительные экзамены, но в администрации ему настоятельно посоветовали забрать документы и пойти в армию. Клюев не растерялся и перешел в училище имени Щепкина. Правда, отслужить три года ему все равно пришлось. В 1969 году Борис получил диплом и присоединился к труппе Малого театра. Поначалу он играл малозаметные роли в массовке, однако со временем мэтры коллектива признали его талант. Особенно удачной посчитали игру Клюева в спектакле «Дачники». Уже в 1970-м он исполнил одну из главных ролей в спектакле «Так и будет» по книге Константина Симонова.
Кинодебют Бориса – картина «Крушение империи» (1970). На протяжении 1970-х годов он появился во многих других исторических лентах, сыграв Теплицкого в «Рудобельской республике», князя Бельского в «Хождении по мукам», Рошфора в «Д’Артаньян и три мушкетера». В начале 1980-х годов пришла пора «Приключений Шерлока Холмса» – Клюев исполнил роль Майкрофта, родного брата легендарного лондонского сыщика.
Однако по-настоящему всенародную славу актеру принесла роль шпиона Трианона в телесериале «ТАСС уполномочен заявить». Кинокритики, говоря о Клюеве, неизменно упоминали слово «порода». Борис обладает поистине аристократичной внешностью и природным обаянием. Именно поэтому среди его героев так много маркизов и других представителей дворянского сословия. Так, актер сыграл графа Григория Орлова в «Михайло Ломоносов», герцога де Гиза в лентах «Королева Марго» и «Графиня де Монсоро».
Среди последних ролей Клюева стоит отметить такие сериалы и фильмы, как «На углу у Патриарших», «Каменская», «Девять неизвестных», «Защита Красина-2», «Воронины».
