В 1998 году поступил на второй курс Факультета оптического приборостроения Московского Государственного университета геодезии и картографии (МИИГАИК), который окончил в 2003 году по специальности «Лазерные системы и лазерные технологии». В 2007 году с отличием окончил заочное отделение Гуманитарного университета, факультет экономики по специальности «Экономика и управление на предприятии». Учился в аспирантуре МИФИ на кафедре ядерной физики.
В 2023 году Мягков окончил Балтийский технологический институт, по специальности актер театра и кино, курс Д. Рудакова. В этом же году сыграл главную роль в короткометражной картине «Бег» Никиты Григорьева. Фильм стал дипломной работой студентов Школы Кино и Телевидения «Матрица». На фестивале «Костя верит» в Санкт-Петербурге Мягков удостоился приза за лучшую мужскую роль.
Актера можно увидеть в эпизодических ролях в сериалах «Жизнь по вызову-3» (2024) Сарика Андреасяна, «Последний богатырь. Наследие» (2024) Антона Маслова и других.
В 2024 году также появился в сериале «Загляни ему в голову-2» (режиссер — Валерия Ивановская). По сюжету доктор Валерий Лунин, клинический психиатр и психолог-криминалист, решает уйти из отдела, но волею случая вынужден начать работать на ФСБ с новым напарником Полукаровым. Парнерами Мягкова по съемочной площадке стали Кирилл Жандаров, Дарья Урсуляк, Павел Трубинер, Владислав Ветров и другие.
