Родился 26 августа 1988 года. Родители актера не имеют отношения к театральному искусству: мама работает бухгалтером, отец – полицейский. Сейчас мама является самой преданной поклонницей актера, посещает все спектакли, в которых играет ее сын. По словам Дмитрия, она всегда готова поделиться с сыном своим мнением, причем это не означает, что каждый раз она будет его хвалить. В детстве Бурукин занимался танцами, сначала бальными, затем современными. Три раза становился победителем чемпионата Москвы по бальным танцам, а в 2001 году завоевал «серебро» чемпионата России. Танцевальные успехи привели Бурукина в шоу-балет «Тодес».
После окончания 11-го класса Дмитрий поступил в ГИТИС. Бурукин принял серьезное решение, что если поступит – бросит танцы. В полном смысле слова сделать этого ему так и не удалось, поскольку теперь актера теперь приглашают в том числе как хореографа-постановщика. Художественным руководителем будущего актера стал режиссер Алексей Бородин. В период учебы Бурукин принимал участие в постановках «Жулики», «Скандальное происшествие» и других. В 2009 году новоиспеченного выпускника приняли в коллектив РАМТа. Дмитрий играет Родольфа в спектакле «Как я стал идиотом», Норбера в «Красном и черном», Симона в «Скупом».
В числе постановок с участием Бурукина много спектаклей для детей: «Волшебник Изумрудного города», «Золушка», «Приключения Тома Сойера», «Незнайка-путешественник», «Волшебное кольцо». Детей Дмитрий в одном из интервью называет самыми чуткими и благодарными зрителями, радуясь звучащему в зале задорному смеху. Для спектакля «Мушкетеры», в котором актер играет Д’Артаньяна, он еще и ставит хореографию. Это его первая главная роль в РАМТе.
Дебютным проектом в кинематографе для Дмитрия стала роль в фильме 2005 года «Самая красивая». В следующий раз на съемочную площадку актера пригласили спустя два года, на роль Петра в сериале «Дар Божий». Еще через два года – в 2009-м – Бурукин получил главную роль в молодежной музыкальной мелодраме Егора Дружинина «Первая любовь», где сыграл с певицей Юлией Савичевой. В 2014 году на экранах фэнтезийная комедия «Тайна принцесс», где Дмитрий Бурукин сыграл Ганса.
Среди знаменитых зарубежных кумиров актер называет Джима Моррисона, Брэда Питта и Аль Пачино, а из соотечественников – Олега Меньшикова и Андрея Панина. Как танцора, Бурукина впечатляют Бурукина хореография Пины Бауш и пластика театра Джеймса Тьерри, который является внуком Чарли Чаплина.
Своей вредной привычкой Дмитрий считает лень. В выходные любит много поспать, за что потом сам себя критикует, так как мог бы успеть что-нибудь сделать. Бурукин мечтает сыграть у Павла Лунгина или Андрея Кончаловского.
