Доминик Купер появился на свет 2 июня 1978 года в Лондоне, в Великобритании. Его отец Брайан Купер был аукционистом, а мать Джулия Купер работала в детском садике воспитательницей. Прадедом Доминика по женской линии был издатель «The Kinematograph Weekly» Эдвард Томас Херон. В Блэкхиз-Виллидж юноша окончил школу Томаса Таллиса, затем стал студентом Лондонской академии музыки и драматического искусства, учёбу в которой успешно завершил в 2000 году.
Купер твёрдо решил построить актёрскую карьеру, поэтому, получив диплом, устроился работать на телевидение, где в 2001 году его пригласили на съёмки в картину «The Gentleman Thief» режиссёра Джастина Харди. В этом же году появились такие киноленты с участием начинающего актёра, как «Аназапта», «Из ада». 2001 год в жизни Доминика оказался довольно успешным, он сыграл в пьесе «Любители истории», постановка которой проходила на сцене Национального театра в Лондоне. С этим спектаклем актёр гастролировал по Бродвею, был в Сиднее, Гонконге и Веллингтоне. Также актёр исполнил свою роль в радиоверсии пьесы и в её экранизации, которая состоялась в 2006 году. В этом же году Купера номинировали на премию «Drama Desk Award» за прекрасную работу в данном мюзикле.
В 2002 году на экраны вышла драма «Последний занавес» режиссёра Патрика Харкинса, в которой Куперу довелось исполнять роль молодого священника. В 2003 году телезрители вновь увидели Доминика, он снялся в музыкальной мелодраме «Я буду рядом» Крэйга Фергюсона, а также появился в румыно-британском военно-историческом боевике «Королева воинов», рассказывающем о кельтской королеве Боадицее, режиссёром которого выступил Билл Андерсон. В 2006 году актёр снялся в картине «Попасть в десятку». Фильм имел большой успех, в 2008 году Куперу вновь досталась значимая роль – он сыграл в триллере «Побег из тюрьмы», также в этом году появилась кинолента «Герцогиня», в которой он блестяще справился с главной ролью. Картина была по достоинству оценена критиками и телезрителями, получила не одну награду, среди которых – знаменитый «Оскар». Одной из самых ярких и запоминающихся работ были драма «Дэвид Копперфильд» и фильм «Mamma Mia!»: в них Купер также был в главных ролях. После выхода этих картин Доминик зарекомендовал себя как успешный, талантливый артист.
В настоящее время Купер активно снимается, он параллельно работает сразу над несколькими проектами: в 2014 году в прокат должны выйти киноленты «Разумное сомнение», «Жажда скорости», «Дракула». Актёр не женат. До мая 2010 года встречался с Амандой Сайфред, звездой мюзикла «Mamma Mia!».
