Дробышева окончила школу с углубленным изучением французского языка. После выпуска Елена прошла конкурс в ГИТИС на факультет театроведения. Она планировала работать критиком или журналистом, но после первого же курса разочаровалась в выбранной профессии и все-таки ступила на актерскую стезю. Дробышева перешла в театральное училище им. Щукина, которое окончила в 26 лет.
Впервые на экранах Елена появилась в возрасте 21 года, причем сразу в главной роли. В телефильме Виктора Храмова «Встреча перед разлукой» (1985) она предстала героиней Евгенией, которая в день объявления войны оказалась на оккупированной территории и отчаянно пробиралась к нашим войскам. В том же году Дробышева сыграла новенькую сотрудницу завода в комедии Александра Калягина «Подружка моя». Достаточно быстро молодая актриса стала востребованной среди отечественных кинорежиссеров. Она снималась в лентах «Мы веселы, счастливы, талантливы!» (1986), «Катенька» (1987), «Гулящие люди» (1988), «Если бы знать…» (1993), «Мещерские» (1995).
В 1996 году Елена присоединилась к труппе московского Театра Луны, где проработала около 10 лет. До начала двухтысячных ее карьера в кино претерпевала кризис: актриса играла проходных, незначительных персонажей. Однако с нарастанием сериального «бума» Дробышева вновь покорила экраны, появляясь в одном проекте за другим: «Огнеборцы» (2003), «Другая жизнь» (2003), «Спасти и выжить» (2003). В 2004 году 40-летняя актриса снялась в приключенческой драме Николая Соловцова «Весьегонская волчица», повествующей о взаимоотношениях охотника и хищницы. В 2005-м Дробышева исполнила, пожалуй, одну из самых удачных ролей в экранизации популярного романа Людмилы Улицкой «Казус Кукоцкого» от режиссера Юрия Быкова. Елена предстала в образе супруги Кукоцкого, страдающей провалами в памяти и постепенно становящейся обузой для родных.
Новая волна популярности настигла актрису в 44 года, когда она появилась в сериале «Рыжая» (2008-2009), сыграв мать главной героини, мечтающую быть звездой сцены. Кроме солидного количества российских сериалов, фильмография Дробышевой насчитывает несколько авторских лент. Так в 2008 году актриса исполнила роль Долли в экранизации «Анны Карениной» режиссера Сергея Соловьева.
Елена Дробышева дважды была замужем – за актерами Дмитрием Липскеровым и Александром Козновым. В 45 лет Елена пережила гибель второго супруга, от которого у нее есть сын Филипп.
