Училась в МГУ на геологическом факультете. Успешно окончила обучение в 1960 году, после чего работала некоторое время геологом Центрально-Казахстанской экспедиции. В 1964 году окончила студию при Московском театре им. Моссовета и стала актрисой труппы театра «Современник». На его подмостках Елена Козелькова исполнила немало превосходных ролей, в числе которых – Божена из постановки «Третье желание», Монастырская – из «Вечно живых», Королева – из спектакля «Белоснежка и семь гномов», Актриса – из «Старшей сестры», Елизавета Александровна – из «Обыкновенной истории», Мадлена Бежар – из «Кабалы святош». С 1970 года актриса также играла в Театре Советской армии.
В новом веке Елене доставались не мене любопытные роли. Например, в спектакле 2002 года «Моя мать – Марлен Дитрих» она блестяще исполнила главную роль Марлен.
В кино Елена Козелькова впервые появилась в 1965 году. Тогда она сыграла в драме Олег Ефремова и Гавриила Егиазарова «Строится мост». Затем она снялась в таких фильмах, как «Наши знакомые» и «Звёзды и солдаты». Первую серьёзную роль актриса сыграла в криминальной драме Бориса Волчека «Обвиняются в убийстве», затем она появилась в картине «Винтовки Тересы Каррар». За роль судьи в фильме «Обвиняются в убийстве» она была удостоена Государственной премии СССР.
Образ Терезы Савченко, сыгранный Еленой в киноповести «За твою судьбу» (1972), принёс актрисе Первую премию на Всесоюзном кинофестивале в Алма-Ате. Не менее примечательны роли Козельковой были в таких картинах, как «Поезд в далекий август», «Ключи от рая», «Повесть о человеческом сердце» и «Гарантирую жизнь».
Восьмидесятые годы стали для Елены менее плодовитыми на интересные актёрские работы, ей доставались в основном роли второго плана. Она приняла участие в таких лентах, как «Берегите женщин», «Военно-полевой роман» и «Эшелон».
В двухтысячных актриса появлялась на экране крайне редко. Например, в таких фильмах, как «Хлеб той зимы» или «Крутой маршрут».
