Елена Савицкая появилась на свет в творческой семье знаменитого артиста оперетты Федора Савицкого. С самых ранних лет она присутствовала за кулисами театра, а также выступала на сцене в небольших детских ролях. В начале 20-х годов семья проживала в Киеве, где Елена училась в гимназии, а также принимала активное участие в ученических вечерах, самодеятельных концертах и брала уроки пения. В 1927 году она была зачислена без экзаменов на второй курс музыкального техникума им. Стасова, однако в связи с семейными проблемами была вынуждена бросить учебу.
В 1928 году квалификационная комиссия дала юной артистке разрешение работать на эстраде. Первоначально в ее репертуаре были в основном народные песни, с которыми она выступала в армейских частях, на фабриках и заводах, а также активно гастролировала по всей стране. В 1932 году Елена Савицкая стала актрисой Московского мюзик-холла, в котором проработала в течение следующих трех лет.
В 1937 году актриса поступила на службу в Московского театра оперетты, на сцене которого проработала до конца своей жизни. В этот период начал в полную силу раскрываться ее талант характерной комедийной актрисы. Ее героини — простые женщины из народа, отличающиеся потрясающим жизнелюбием. Савицкая воплотила на сцене образ Хиври в оперетте «Сорочинская ярмарка», Аделаиды в «Продавце птиц», Гапуси в «Свадьбе в Малиновке, Кэто в «Золотой долине» и Амалии в «Летучей мыши».
Елена Савицкая дебютировала в кинематографе в 1935 году, снявшись в комедийной мелодраме режиссера Яна Протазанова «О странностях любви». Год спустя она появилась в юмористической картине Игоря Ильинского «Однажды летом». Самыми известными работами актрисы в кинематографе стали роли тети Кати в фильме-мюзикле «Шесть часов вечера после войны» и Никаноровны в комедии «Кубанские казаки».
В 1952 году Савицкая была удостоена звания заслуженной артистки РСФСР.
Елена Савицкая скончалась 5 февраля 1959 года.
