Кошевой родился 7 апреля 1983 года в провинциальном городке Ковшаровка Харьковской области в семье инженера и воспитательницы детского сада Виктора и Надежды Кошевых. У Евгения есть старший брат Дмитрий, работающий на сегодняшний день дизайнером-оформителем. В 1989 году Кошевые перебрались на Луганщину, в Алчевск, где Евгений закончил среднюю школу, после чего поступил в Луганский колледж культуры и искусства на актерское отделение. Также артист получил заочное режиссёрское образование.
В это же время Кошевой начинает играть в КВН - в командах «Ворошиловские стрелки» и «Ва-банк», а с 2005 года в составе успешной группы «Квартал–95».
С 2010 года Евгения Кошевого можно регулярно видеть на больших экранах в отечественных романтических комедиях. Кошевой задействован в эпизодических, однако, ярких и запоминающихся ролях: в популярных ромкомах Марюса Вайсберга о злоключениях троицы друзей «Любовь в большом городе-2» и «Любовь в большом городе-3», стеснительного, но обаятельного сисадмина в комедийной мелодраме Сарика Андреасяна «Служебный роман. Наше время», уморительного Левши в искрометной ленте «Ржевский против Наполеона», жадного, но добродушного таксиста в картине «8 первых свиданий» и незадачливого учителя в фэнтезийной комедии «Тот еще Карлосон!». Примечательно, что практически во всех этих картинах в главной роли выступает другой бывший участник и капитан известной команды Клуба Веселых и Находчивых «Кваратал-95» - Владимир Зеленский. Также Евгений принял участие в музыкальном комедийном проекте украинского телевидения «1+1 дома» и был ведущим шоу «Украина, вставай!» (совместно с Еленой Кравец). Среди программ, где он участвовал, такие как: «Танцы со звездами», «Пороблено в Украине», «Что? Где? Когда?» на украинском телевидении.
Евгений Кошевой также увлекается футболом и машинами и даже хотел бы создать собственную телепередачу, посвященную автомобильной тематике. Также в свободное время он любит пересматривать фильмы с участием своих любимых актеров - самой известной семейной пары «голливудского киноолимпа» - Брэда Питта и Анджелины Джоли. Артист женат на участнице танцевального коллектива «Freedom» Ксении Кошевой, вместе они воспитывают дочь Варвару.
Рост Евгения Кошевого - 192 см.
