Евгений Алексеевич родился 2 января 1917 года в городке Балаково, Саратовская область. Будущему актеру было уготовано тяжелое детство. Лебедев-старший состоял в духовном сане, что приравнивало его к врагам народа. Желая хоть как-то облегчить жизнь мальчика, родители отправили его в Самару под опеку деда. Евгению на тот момент исполнилось десять лет, однако он уже прекрасно понимал, почему лучше скрывать свое происхождение. После окончания средней школы Лебедев продолжил обучение в самарской Школе фабрично-заводского ученичества. Вскоре он увлекся художественной самодеятельностью, а в начале тридцатых годов стал выступать в Театре рабочей молодежи. Впрочем, когда руководство узнало о родителях юноши, его буквально выгнали со сцены.
Лебедев, несколько разбитый несправедливым отношением к себе, все-таки не сдался и продолжил актерский путь, переехав из Самары в Москву, где поступил в студию при Театре Красной армии. Через три года он прошел конкурс в знаменитый ГИТИС, носивший в то время название «Центральный Техникум Театрального Искусства». После выпуска Евгений Алексеевич по распределению уехал в Тбилиси, где присоединился к труппе Театра Юного Зрителя. В Грузии актер пережил Великую Отечественную войну. Несмотря на то, что Лебедев стал одним из первых лиц местного театра и обрел верных поклонников, он не переставал скучать по родине. Мечта о возвращении в Россию осуществилась в конце сороковых годов.
Вновь оказавшись в Москве, артист устроился в театр Промкооперации. Однако здесь он задержался ненадолго, так как вскоре получил приглашение в ленинградский «Ленком», откуда впоследствии перебрался в Большой драматический театр имени Максима Горького. Через некоторое время театр переименовали в честь Георгия Товстоногова, с которым Лебедева связывали не только годы близкой дружбы, но и родственные отношения: Евгений Алексеевич женил на сестре знаменитого режиссера Нателле.
Кинодебют Лебедева состоялся в 1955 году в драматической ленте Фридриха Эрмлера «Неоконченная повесть». Следом артист появился в таких советских хитах, как «Поднятая целина», «Иду на грозу», «Свадьба в Малиновке», «Записки сумасшедшего», «Странные люди», «Отпуск, который не состоялся» и многих других. На протяжении многолетней карьеры актеру редко доставались ведущие роли, но даже герои второго плана в его исполнении завоевывали любовь зрителей. Свою последнюю роль в кино Евгений Алексеевич исполнил в 1993 году в мелодраме Ольги Жуковой «Танго на Дворцовой площади». Спустя четыре года он скончался в возрасте восьмидесяти лет и был похоронен в Санкт-Петербурге.
