Клод Пьер Эспинас (настоящее имя) родился 15 июня 1936 года в городе Нёйи-сюр-Сен, во Франции. Клод появился на свет в семье известных французских актеров: Пьера Брассера («Дети райка», «Набережная туманов», «Глаза без лица») и его супруги, Одетт Жойе («Летняя гроза», «Нежная», «За ночь любви»). Интересно, что крестным отцом Клода при рождении был сам Эрнест Хемингуэй.
После его рождения родители развелись. Отчимом Клода стал Филипп Агостини – известный французский оператор, режиссер и сценарист («Мужские разборки»).
Решив пойти по стопам родителей, Клод взял псевдоним отца.
Впервые на экранах он появился в 20 лет, в ленте «Страна, откуда я родом» (1956), сказке о любовных отношениях. Затем Клод начал появляться на французских экранах сразу в нескольких фильмах за год, причем в главных ролях и у известных режиссеров: «Улица Прери» (1959), «Глаза без лица» (1959), где он работал вместе с отцом Пьером Брассером, и других.
В 1964-ом году Клод сыграл главную роль у знаменитого режиссера Жана-Люка Годара в ленте «Банда аутсайдеров». Его герой Артур знакомится на курсах английского языка с девушкой и уговаривает ее заняться ограблением вместе с ним. Лента стала культовой, и считается шедевром Годара по сей день. Квентин Тарантино назвал свою киностудию как раз в честь этого фильма - «A Band Apart».
Первой женой актера была Пегги Роше, однако их брак окончился разводом.
В 34 года Клод стал отцом - 29 марта 1971 года от Мишель Камбон-Брассёр, своей второй супруги, у него родился единственный сын Александр. Впоследствии Александр Брассе тоже стал актером («Наши лучшие каникулы», «Тряпки», «Самое счастливое место на Земле»).
1976-ой год принес 40-летнему актеру премию «Сезар» - как лучшему актеру второго плана за работу в фильме «И слоны бывают неверны», рассказывающему о сексуальных похождениях мужчин «кризисного» возраста. Вторую номинацию на «Сезар» актер получил спустя два года за работу в ленте Клода Соте «Простая история» (1978). В этой драме о терзаниях разведенной дамы, которую играет Роми Шнайдер, Клод сыграл роль ее любовника Сержа. Картина имела международный успех, удостоившись номинации на премию «Оскар». Через год Клод получил еще одного «Сезара» - за главную роль начальника спецотдела полиции Фуша в криминальной драме «Война полиций» (1979).
Широкую всенародную любовь ему принесла семейная комедия «Бум» (1980) и ее продолжение «Бум 2» (1982), где Клод играет вместе с Софи Марсо. Перипетии отношений семейной пары между собой и своей дочерью имела невероятный успех. «Бум» стал самым успешным фильмом года во Франции, обойдя вторую часть трилогии «Звездных войн». Его прокат продолжался во Франции тридцать пять недель. А в Италии премьера «Бума» состоялась только в 1982 году. Но к тому времени саундтрек «Бума» стал там колоссальным хитом, и выход фильма в прокат вызвал огромный ажиотаж. «Бум» стал самым успешным фильмом года и в Италии.
Продолжая активно сниматься, Клод Брассер получил очередную премию «Сезар» в 1993-ем году за главную роль в исторической ленте Эдуара Молинаро «Ужин» (1992).
Клод также успешно занимался автоспортом. В 47 лет, в 1983-ем году он победил на ралли-марафоне «Париж-Дакар» в классе автомобилей, будучи штурманом у Жаки Икса.
