С раннего возраста Константин рос в творческой атмосфере театральной семьи. Актерами были бабушка и дедушка, отец и мать Кости. В семье Анисимова берет начало и его любовь к футболу. Так, в 1968 году отец мальчика Александр Анисимов снялся в роли иностранного футболиста Карла Рамке в картине «Удар! Еще удар!». Создателей фильма консультировал тренер футбольной команды «Зенит» Аркадий Алов, который и пригласил съемочную группу после премьеры на один из матчей.
Отец Кости взял его с собой на матч, после которого актеры были приглашены в автобус команды. В той встрече «Зенит» вышел проигравшим, а рассерженные болельщики забросали автобус тем, что попалось под руку. Этот случай навсегда остался в памяти мальчика как одно из самых ярких и невероятных приключений детства.
Спустя много лет Константин не оставил своего увлечения и играл за одну из заводских футбольных команд «Звезда». Однако в качестве основной профессии он все же выбрал актерство и подал документы в Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии. Приняв во внимание тот факт, что абитуриент страстно увлекается футболом, члены приемной комиссии попросили его изобразить игрока, пробивающего пенальти. Молодой человек успешно преодолел вступительные испытания и поступил на курс народного артиста Игоря Горбачева.
В 1987 году Анисимов окончил ЛГИТМиК и приступил к работе в Ленинградском театре им. Ленинского комсомола (ныне Театр-фестиваль «Балтийский дом»), в труппе которого он занят и по сей день. Сценические персонажи Константина разноплановые и характерные. Он играл в таких постановках, как «Гамлет» (Лаэрт), «Двенадцать стульев» (Остап Бендер), «Отчего люди не летают» (Тихон) и многих других.
Участвует актер и в детских спектаклях: в «Аленьком цветочке» он перевоплотился в Бабу-Ягу, а в «Чиполлино» стал герцогом Мандарином. В 2004 году за более серьезные роли в постановках «Жизнь Ивана Ильича» (Захар) и «Отчего люди не летают» (Тихон) Анисимова внесли в число соискателей престижной театральной премии «Золотой софит» в номинации «Лучшая мужская роль».
В 2002 году актер попробовал себя в качестве диктора спортивных матчей любимого футбольного клуба «Зенит». С тех пор он работает комментатором на постоянной основе, совмещая эту деятельность с игрой на сцене «Балтийского дома».
Нередко Анисимову приходится спешить со спектакля на стадион, потому как даты постановок и матчей часто совпадают. Руководство театра с пониманием относится к увлечению актера и старается не назначать даты спектаклей с его участием на дни игр «Зенита». В свою очередь, футбольный клуб в официальном порядке направляет расписание игр в театр для согласования графика работы диктора.
Сниматься в кино Анисимов начал еще до окончания театрального. В 1986 году он участвовал в создании военной драмы «Сошедшие с небес», сыграв в небольшом эпизоде. Есть в его послужном списке и более крупные проекты, такие как боевик «Брат» (1997), драмы «Молох» (1999) и «Телец» (2000), сериалы «Тайны следствия», «Улицы разбитых фонарей», «Бандитский Петербург», «Агент национальной безопасности» и многие другие.
В 2012 году на телеэкраны вышел многосерийный фильм «Версия 3» с участием актера.
