Родился 16 сентября 1953 года в Сан-Франциско. С детства мальчик тянулся к сцене, а после школы решил поступить в Калифорнийский университет Беркли и изучал английскую литературу. После выпуска Фуллер трудился на театральных подмостках, одновременно подрабатывая риэлтером. В 28 лет он дебютировал на телевидении, активно снимался в сериалах: «Кегни и Лейси» (1981-1988), «Рыцарь дорог» (1982-1986), «Ньюхарт» (1982-1990), «Она написала убийство» (1982-1986), «Закон Лос-Анджелеса» (1986-1994). В основном актер исполнял небольшие роли шерифов, больных, кинооператоров – в общем, проходных персонажей. Спустя шесть лет он появился на большом экране: в 1987 году 34-летний Фуллер получил эпизодическую роль Тони в фантастическом триллере Пола Майка Глейзера «Бегущий человек» с Арнольдом Шварценнеггером. После этого Курт еще несколько лет оттачивал мастерство на второстепенных ролях, пока одна эпизодическая работа не принесла ему всемирную славу. В 1989 году Фуллер сыграл злобного помощника мэра в продолжении культового фильма «Охотники за привидениями 2», где отважная четверка во главе со Биллом Мюрреем борется с потусторонней нечистью. Лента имела невероятную популярность (сборы в мировом прокате превысили 215 миллионов долларов), Курта начали узнавать на улицах, а предложения в другие интересные проекты посыпались как из рога изобилия. Фуллера нельзя назвать актером одного амплуа: в его арсенале огромное количество запоминающихся, ярких эпизодических работ. Среди них стоит выделить образы кинорежиссера Рассела Финли в комедии Пенелопы Сфирис «Мир Уэйна», собравшей больше 182 миллионов при бюджете в 20, Гари Липтона в драме «Мэрилин и я» (1991), Ленни Смитта в «собачей» комедии «Бинго» (1991), шерифа в знаменитой комедии «Очень страшное кино» (2000) и режиссера телеканала NSC Роберта Линдси в популярном американском детективном сериале «Шпионка» (2001-2006). Фуллер также исполнил Уолтера Риббона в легендарном фильме Габриэля Муччино «В погоне за счастьем» (2006), повествующем о том, как чернокожий бедняк (Уилл Смит) пробивается из нищеты в нью-йоркскую элиту ради своего маленького сына, и Сэма Кларка в оскароносной биографии музыканта Рэя Чарльза «Рэй» (2004). В 2011 году Вуди Аллен пригласил Курта в фильм «Полночь в Париже» о загадочной столице Франции на роль циничного американского папаши главной героини (Рэйчел МакАдамс), которому очень не нравится ее мечтательный женишок (Оуэн Уилсон). Поклонники американских сериалов легко узнают актера в одном из пациентов культового «Доктора Хауса» и в Захарии из «Сверхъестественного».
Фуллер ничуть не переживает из-за отсутствия главных ролей в своей более чем продуктивной актерской карьере. «Эпизодник» весьма популярен в Голливуде, получает неплохие гонорары и популярен ничуть не меньше заглавных звезд кино. Он женат на актрисе Джесике Хендра, у супругов двое детей.
