Михаил Михайлович родился 15 июня 1936 года в Москве в актерской семье. Его отец Михаил Степанович был Лауреатом Сталинской премии и вместе с супругой Ираидой Ивановной состоял в труппе Театра им. Вахтангова. Семья Державиных на момент рождения сына жила в самом центре столицы в одном доме с актерским коллективом своего театра. По соседству находилось знаменитое Щукинское училище. Таким образом, не только домашняя атмосфера, но и общая обстановка, в которой вырос мальчик, располагали к выбору творческой профессии. Первое импровизированное выступление Михаила состоялось задолго до поступления в специализированный вуз, в пятилетнем возрасте. Когда началась Великая Отечественная война, Театр им. Вахтангова отправился в эвакуацию, пунктом назначения которой был выбран город Омск. Здесь театр продолжал функционировать в особых военных условиях, а регулярной практикой стали спектакли для раненых. Однажды на одно из таких представлений привезли пятилетнего Мишу, поставили табуретку и попросили мальчика прочитать монолог Кутузова, который его отец когда-то декламировал в одном из своих выступлений.
Сразу после окончания школы Михаил Державин подал документы в театральное училище. Как позднее рассказывал сам актер, его преподавателями оказались коллеги и друзья отца. Никаких серьезных сложностей с учебой не возникало. После выпуска в 1959 году Державин присоединился к труппе Московского театра им. Ленинского комсомола, где наблюдалась нехватка молодых актеров, поэтому руководство обеспечивало всем новоприбывшим протекцию от призыва на армейскую службу. Выбор рабочего места разлучил Державина с первой женой Екатериной, своей бывшей однокурсницей и дочерью Аркадия Райкина. После выпускных экзаменов девушка устроилась в Театр им. Вахтангова. Молодые актеры прожили в браке около двух лет.
Кинематографический дебют Михаила Михайловича состоялся еще в студенчестве в мелодраме Леонида Лукова «Разные судьбы» (1956). Актер предстал в образе студента Кости, но его имя даже не указали в титрах ввиду незначительности роли. Следующей работой Державина стала военная драма Юрия Егорова «Они были первыми». Спустя восемь лет он сыграл живописца Карла Брюллова в биографической ленте о поэте Тарасе Шевченко. Тем временем завязался роман артиста со второй женой Ниной, дочерью командующего конной армией РККА Семена Михайловича Буденного. У супругов родилась девочка Мария. В 1966 году Державин принял участие в работе над драмой Генриха Габая «Лебедев против Лебедева», где его герой произнес: «Как говорит мой друг Ширвиндт, тупик досуга», обозначив тем самым будущее сотрудничество с Александром Анатольевичем, который не имел к данной картине никакого отношения, но был другом детства Державина. Совместная работа именитых артистов началась с семейной приключенческой комедии Павла Арсенова «Спасите утопающего». Позднее творческий тандем порадовал зрителей такими фильмами, как «Трое в лодке, не считая собаки», «Бабник», «Чокнутые», «Зимний вечер в Гаграх». В нескольких лентах Державин появился вместе со своей третьей женой, актрисой и певицей Роксаной Бабаян.
