Появился на свет в семье режиссера Лии Козыревой и скрипача Натана Козырева. В 1992 году Михаил окончил лечебно-профилактический факультет Свердловского государственного медицинского института. С 1992 по 1994 год учился на отделении масс-медиа Помона-Колледжа в США.
В 1992 году на американской станции KSPC 88.7 FM создал первое радио-шоу под названием «Музыка большевистских детей и бабушек». С 1993 по 1994 год работал на екатеринбургском радио Трек. В 1994 году стал программным директором московского радио Максимум. Михаил Козырев – автор идеи проведения рок-фестиваля «Максидром», который впервые состоялся в 1995 году. Именно он и придумал название фестиваля и основную его концепцию. В июле 1998 года был подписан приказ об увольнении Михаила Козырева с Максимума.
В 1998 году Козырев выступил одним из основателей, художественным руководителем и генеральным продюсером радиостанции Наше радио. Станция специализируется исключительно на рок-музыке отечественного производства, за что сумела завоевать огромную аудиторию слушателей. В 1999 году Михаил Козырев выступил в качестве одного из организаторов музыкального фестиваля «Нашествие».
В 2000 году создал радиостанцию Ультра, которая перешла на онлайн-вещание в 2010 году. Станция специализировалась на американской рок-музыке. В 2004 году на бывшей частоте (100.5 МГц) радио Ультра Козырев открыл станцию Best FM, вещавшую хиты западной эстрады 60-90-х годов. 1 февраля 2005 года Михаил Козырев был уволен с поста продюсера Нашего радио и Best FM.
В 2006 году начал вести на радио Серебряный дождь шоу «Мишанина».
В 2007 году сыграл самого себя в комедии «День выборов».
С сентября 2008 года по апрель 2009 года возглавлял пост генерального продюсера телеканала A-One.
В 2008 году вновь вернулся к роли радио-продюсера и сыграл самого себя в комедии «День радио».
