Родилась 3 мая 1956 года в Москве. Мать маленькой Наташи была сотрудницей Министерства просвещения, а отец работал на авиазаводе. Интерес к актерской профессии появился у девочки достаточно рано. Еще в возрасте пяти лет, после просмотра балета «Спящая красавица», девочка не могла думать ни о чем, кроме как о карьере балерины. Увлечение настолько поглотило ее, что в начальной школе она сама организовала любительскую балетную постановку, выступив как инициатор, балетмейстер и режиссер представления. Не меньшее рвение Наташа проявляла и в музыке. В третьем классе она начала посещать класс по обучению игре на аккордеоне, а позднее начала играть на фортепиано. Когда пришло время определиться с будущей профессией и выбрать ВУЗ, сначала Андрейченко выбрала филологический факультет МГУ. Затем отдала предпочтение Высшему театральному училищу им. М.С. Щепкина. К сожалению, поступить туда не получилось, зато все сложилось гораздо удачнее во время вступительных экзаменов во ВГИК. Наталья поступила в мастерскую Сергея Бондарчука и Ирины Скобцовой.
Дебют в кинематографе состоялся вскоре после начала обучения. В 1975 году она появилась в небольшой роли в драме Гавриила Егиазарова «От зари до зари». Следующей стала работа в историческом боевике Ивана Лукинского и Владимира Златоустовского «Поединок в тайге». Уже в 1976 году режиссерский тандем вновь пригласил Наталью к участию в мелодраме «Колыбельная для мужчин». На этот раз молодой актрисе доверили исполнение одной из главных ролей. В 1977 году Андрейченко появилась в драме Бориса Яшина «Долги наши», созданной по сценарию Эдуарда Володарского. Тогда же актриса исполнила небольшую роль в драме своего преподавателя Сергея Бондарчука «Степь», поставленной по одноименной повести А.П. Чехова. Яркой работой 1978 года стала роль в мелодраме Андрея Кончаловского «Сибириада». Наталья сыграла одну из главных ролей в картине. Ее партнерами по съемочной площадке стали Никита Михалков, Людмила Гурченко, Виталий Соломин, Сергей Шакуров и Елена Коренева. Лента стала участницей основного конкурсного показа Каннского кинофестиваля, и получила Большой приз Жюри. В отечественном прокате фильм продержался лишь несколько недель, а затем был снят по идеологическим соображениям – режиссер картины не вернулся в Советский Союз, оставшись во Франции.
Но наиболее успешным в кинокарьере актрисы стал 1983 год. Именно тогда на экраны вышли две самых заметных работы Андрейченко. Одна из них – сложная и неоднозначная роль Любови Ивановны Антиповой, некогда молодой санитарки, ныне грубоватой продавщицы пирожков, перенесшей все тяготы войны и смерть любимого человека, в мелодраме Петра Тодоровского «Военно-полевой роман». Премьера картины состоялась на Берлинском кинофестивале. Лента была удостоена номинации на «Оскар» как «Лучший фильм на иностранном языке». Второй блестящей работой стала роль необычной няни Мэри Поппинс в сказке для взрослых Леонида Квинихидзе «Мэри Поппинс, до свидания», снятой по мотивам произведений Памелы Трэверс.
