Олег Савкин родился 2 июня 1965 года в городе Баку, в Азербайджане в семье военнослужащего. Позже его семья переехала на Украину. Мальчик учился в Чугуевской школе № 1 в Харьковской области. Сперва Олег поступил в Бакинский нефтехимический институт, а потом - в Харьковский политехнический институт, но проучившись там меньше года, решил уйти. После этого Олег Савкин выучил программу на украинском языке и подал документы в Харьковский институт искусств имени Котляревского на театральное отделение. Его взяли на курс народного артиста СССР Леся Сердюка.
После учебы, в 1988 году Олег Савкин вместе со своей женой начал работать в Орловском ТЮЗе, ставившим театральные постановки по Булгакову, Вольтеру и М. Рощину. В этом театре Савкин проработал до 1991 года. В 1990 году Олег Савкин впервые появился на экране в фильме «Меланхолический вальс» Бориса Савченко и военном драматическом мини-сериале «Война». В следующем году зрители увидели актера в лентах «Два шага до тишины» и «Чудо в краю забвения». В 1992 году актер принял участие в мюзикле «МЕТРО» в Варшаве. В 1993 году Савкин стал актёром Харьковского академического украинского драматического театра имени Тараса Шевченко, где впервые сыграл главную роль Армана Дюваля в спектакле «Дама с камелиями». Одновременно с игрой в театре актер работал на харьковском телевидении в качестве диктора. В 1995 году Олег Савкин появился на экране в десятисерийном эротическом фильме режиссёра Олега Биймы «Остров любви» в роли молодого гуцула Федуся. В 1999 году актер переехал в столицу Украины, где начал сотрудничать с Киевским национальным академическим театром русской драмы имени Леси Украинки.
С 2002 года Савкин начал сотрудничество с Театральной мастерской «Созвездие». В этом же году актер сыграл губернатора Лазарева в российском сериале Андрея Праченко «Леди Мэр», а в последующие годы появился в многосерийных фильмах «Личная жизнь официальных людей», «Роксолана: Владычица империи» и «Развод и девичья фамилия». В 2007 году Олег Савкин снялся в биографическом фильме «Богдан-Зиновий Хмельницкий» и детективе «Убийство в зимней Ялте», а также в сериалах «Театр обреченных» и «Тайна «Святого Патрика». В сентябре 2007 году на экраны вышел исторический художественный фильм «Катынь» режиссёра Анджея Вайды, который был снят на основе событий, связанных с Катынским расстрелом. В картине Олег Савкин сыграл офицера НКВД, а в главных ролях снялись актеры Майя Осташевская, Артур Жмиевский и Сергей Гармаш. В последующие годы Олег Савкин сыграл в сериалах «Смерть шпионам!», «Антиснайпер», а также исполнил роль героя Анатолия в многосерийном драматическом фильме «Аннушка».
В 2013 году актер снялся в двух украинских короткометражках – «Алкоголик» и «Нимфо».
Олег Савкин по-прежнему живёт в Киеве, работает в Театре русской драмы и на украинском ТВ.
У актера есть трое детей: 26-летняя Анна, четырехлетняя Марго и младшая — трехлетняя Полина.
