Родилась Ольга 1 апреля 1965 года в Приморском крае на берегу Японского моря, в городе Находка. Семья девочки была далека от творческих профессий. Отец, Борис Федорович, происходил из старинного дворянского рода, во время рождения дочери он служил капитаном дальнего плавания. Мать, Мария Ивановна, принадлежала к обеспеченной цыганской династии. Дед актрисы по материнской линии был кузнецом. Оля с детства питала интерес к актерской профессии. Уже в школьные годы девочка занималась в драматическом кружке, играла на сцене в спектаклях «Капитанская дочка» и «Ночь перед рождеством». Но всерьез для себя карьеру актрисы никогда не рассматривала. Мария Ивановна видела будущее дочери в преподавании. Первое осознанное стремление в профессию пришло только после гастрольного визита в город драматического театра из Хабаровска. Тогда, посмотрев на игру актеров и впечатлившись ею, Ольга впервые поняла, что хочет быть актрисой. После средней школы Дроздова несколько раз поступала во Владивостокский институт искусств, но сама же уходила оттуда. В итоге она, вместе с несколькими подругами, приняла решение поступать в Свердловский театральный институт. Когда час отлета настал, оказалось, что девочки в последний момент испугались и не приехали в аэропорт. Ольга полетела одна и благополучно поступила в институт.
Уже учась на втором курсе, Дроздова активно играла в нескольких постановках. В середине обучения во время студенческих каникул Оля отправилась в Москву. Посмотрев, как сдают экзамены в столичные театральные вузы, девушка приняла решение вновь испытать себя. Без особенных затруднений Дроздова оказалась на курсе Владимира Сафронова в Высшем театральном училище им. М.С. Щепкина. В 1989 году Ольга сдала выпускные экзамены и быстро получила приглашения сразу в несколько московских театров. Девушка предпочла работу в Московском театре «Современник». На его сцене Дроздова участвовала в спектаклях «Три сестры», «Вишневый сад», «Аномалия», «Предупреждение малым кораблям», «Бесы», «Три товарища», «Анархия» и многих других. Кинодебют состоялся в 1985 году в драме Владимира Лаптева «Лиха беда начало», снятого на Свердловской киностудии. Главные роли в картине играли Михаил Зимин, Валентин Смирницкий и Александр Домогаров. В 1990 году актриса получила приглашение в комедию Анатолия Эйрамджана «Бабник» с Александром Ширвиндтом и Михаилом Державиным. Через год она исполнила небольшую роль в исторической картине Геннадия Васильева «Царь Иван Грозный».
В 1992 году Ольга исполнила главную женскую роль в приключенческой мелодраме Алексея Рудакова «Алиса и Букинист». Главная мужская роль досталась Дмитрию Певцову. Через два года актеры поженились, и в 2007 году в семье родился сын Елисей. В 1996 году Ольга прошла кастинг на роль фрейлины Екатерины Медичи Шарлотты де Сов в сериале Александр Муратова «Королева Марго». Муж актрисы воплотил в ленте образ Генриха Наваррского. Традицию совместной работы пара продолжила в проекте Владимира Бортко «Бандитский Петербург. Фильм 2. Адвокат». Дроздова получила Приз первого фестиваля детективных фильмов за лучшую женскую роль.
