После школы отправился в Киев, где поступил в училище эстрадно-циркового искусства, на эстрадное отделение, там Роман Богданов изучал разговорно-вокальный жанр. После училища, откуда его исключили, работал диджеем и конферансье. В 2002 году Роман Богданов вошел в состав труппы театра Андрея Данилко, вместе с которым учился на одном курсе училища, начав, таким образом, свой творческий путь. В составе театра Роман Богданов много гастролировал, получил большой опыт работы в шоу-бизнесе и на сцене.
Кроме того, вместе с Андреем Данилко он снялся в украинском музыкальном телефильме 2003 года «За двумя зайцами», в котором также приняли участие Алла Пугачева и Максим Галкин. В 2006 году на экраны вышла музыкальная комедия «Приключения Верки Сердючки» также с участием Андрея Данилко и Романа Богданова. Чтобы начать самостоятельную карьеру, в 2006 году Роман покинул Театр Андрея Данилко и перебрался в Москву, где стал рассылать свои портфолио. В результате снялся в эпизодах в двух малозначительных фильмах.
В наибольшей степени Роман Богданов известен зрителю по роли Степана Приходько в популярном телевизионном сериале «Солдаты». Руководству проекта актер приглянулся, прежде всего, своей способностью самостоятельно мыслить. Роман Богданов сам создал образ своего персонажа, придав ему веселый украинский колорит с позитивным взглядом на жизнь. Съемки сериала проходили в одной из воинских частей под Москвой. Когда серии с участием Романа вышли на экран, ему стали поступать новые предложения. Тем не менее, актер продолжил сниматься в «Солдатах», фигурируя еще в нескольких сезонах.
Кроме того, Роман Богданов снимался в таких сериалах, как «Спецгруппа», «Два Антона», «Холодная война: Прерванный полет» и «Однажды в милиции», а в 2011 году появился в телефильме «Прощание славянки». Помимо съемок на телевидении, Роман Богданов принимал участие в различных антрепризных постановках на сценах Москвы вместе с такими актерами, как Екатерина Стриженова, Александр Песков, Руслана Писанка и Александр Резарин.
