Большую часть детства Тарас Бибич провел в Полтаве. Окончив школу, он отправился поступать в Москву, но хоть и пробовался в несколько театральных вузов одновременно, везде экзамены провалил. Вернувшись в Полтаву, Тарас Бибич поступил на филологический факультет, защитив затем дипломную работу по Достоевскому. Затем устроился учителем в школу, но по причине низкой зарплаты занялся бизнесом. Так и не найдя себя, Тарас снова поехал в Москву, и снова не смог поступить. Не теряя времени, он попытал счастья в Санкт-Петербурге, и на этот раз удачно, став студентом Санкт-Петербургской Академии театрального искусства, где обучался в мастерской Вениамина Фильштинсокого. После получения диплома Тарас Бибич стал работать в Государственном Драматическом Театре «Приют Комедианта» и в Театре на Литейном. В 2002 году вместе с молодыми актерами Игорем Ботвиным и Ксенией Раппопорт актер организовал «Мастерскую Театра на Литейном», призванную помочь начинающим постановщикам и художникам.
Из театральных работ Бибича следует выделить роль пророка Тиресия в спектакле Андрея Прикотенко «Эдип», получившем «Золотую Маску». Также актер был занят в постановках «Пляска смерти», «Беспокойное танго» и «Слуга двух господ».
На экране дебютировал в 2001 году сразу в главной роли в детективном сериале «Агентство НЛС», сыграв Михаила Шуйского, одного из трех основателей Агентства помощи в нестандартных личных ситуациях. Позже актер сыграл и в продолжении сериала. Кроме того, он появился в таких многосерийных проектах, как «Убойная сила», «Улицы разбитых фонарей», «Диверсант 2: Конец войны», «Тени прошлого», «Литейный».
В 2008 году Тарас Бибич был приглашен режиссером Сергеем Поповым для исполнения одной из главных ролей в криминальном боевике «Холодное солнце». Через год актер сыграл капитана Неверова в телевизионной приключенческой драме «Приказано уничтожить! Операция: «Китайская шкатулка»» с участием Михаила Ефремова и Геннадия Хазанова, а в 2010 году появился в военном телефильме «Жажда».
