Юрий родился в семье военного, поэтому в его жизни часто случались разъезды. И по этой же причине актёр прожил в Латвии очень мало. Когда мальчику было 6 лет, родители переехали в Москву. Здесь прошли детские годы Юрия.
Уже в раннем возрасте были заметны творческие способности ребёнка в семье Богатыревых. Он сам ставил кукольные спектакли, а также выступал на сцене, представляя себя театральным артистом. При этом маленький режиссёр самостоятельно делал кукол из старых халатов своей мамы, шил занавес, делал постановки и играл.
Немалый интерес Юрий проявлял и к рисованию. После 8 класса школьный учитель предложил ему развиваться в направлении изобразительного искусства, и Юрий согласился.
В 1964 году Богатырев поступил в Художественно-промышленное училище имени Калинина. Там он учился на художника по коврам. Однако параллельно с этим он начал посещать театральную студию.
Поначалу актёрское мастерство было для Юрия обычным хобби, но затем переросло в увлечение всей жизни. С 1965 года Богатырев участвовал в постановках для детей театра «Глобус».
Спустя некоторое время Юрий Богатырев ушёл из художественного училища и отправился поступать в Щукинское училище. Педагогом начинающего актёра был известный Юрий Катин-Ярцев. Богатырев учился вместе с Константином Райкиным и Натальей Варлей и считался самым талантливым на своём потоке.
Как только он закончил Щукинское училище, сразу же стал играть в «Современнике». Коллеги его приняли очень хорошо, однако серьёзные роли Богатыреву очень долгое время не доставались. Одной из самых лучших его ролей в театре была роль Клеанта в спектакле «Тартюф» по одноимённой пьесе Мольера.
Широкую известность Юрий Богатырев получил благодаря фильму «Свой среди чужих, чужой среди своих». В этой кинокартине он сыграл Егора Шилова. С тех самых пор Богатырева можно было часто видеть на телеэкранах страны.
Он успел сняться в 48 фильмах, из них часть - киноленты Никиты Михалкова. Одна из лучших ролей – роль Филиппка в фильме «Объяснение в любви». Среди киноработ стоит отметить следующие: «Дон Сезар де Базан», «Полёт птицы», «Доченька», «Очи чёрные», «Мёртвые души», «Нежданно-негаданно», «Отпуск в сентябре», «Последняя охота», «Ералаш», «Два капитана».
В 1978 году актёр получил премию Ленинского комсомола за создание образов современников и высокое исполнительское мастерство.
Несмотря на то что Юрий Богатырев был женат на Надежде Серой, ходили слухи о его гомосексуальности. Из-за этого он стал сильно переживать и пристрастился к алкоголю. Из-за продолжительной депрессии ему прописали антидепрессанты. И в один из вечеров, после того как он принял лекарство, с ним случился приступ. Актёру ввели клофелин, однако данный препарат оказался несовместимым с ранее принятым антидепрессантом. Это вызвало шок и остановку сердца.
Юрия Богатырева похоронили 6 февраля на Ваганьковском кладбище в Москве.
