В школе стал посещать занятия драмкружка. Именно с этого момента он серьёзно увлёкся театром. По окончании школы Юрий поступил в Дальневосточный педагогический институт искусств на актёрское отделение. Завершив обучение, начал работать в Хабаровском драматическом театре. На его сцене Юрий Кузнецов играл в течение десяти лет. В 1979 году актёр перешёл в Омский театр драмы.
Дебют его в кино состоялся в довольно зрелом возрасте. Ему шёл 38-ой год, когда в киноповести «Торпедоносцы» довелось сыграть роль Фоменко. Эта картина, а также фильм «Мой друг Иван Лапшин» и открыли советскому кинематографу этого интересного актёра. Благодаря такому удачному экранному старту удалось получить и работу в Ленинградском театре Комедии им. Акимова. Переезд в северную столицу символизировал начало нового этапа в карьере Юрия Кузнецова. Приглашений сниматься в кино становилось всё больше. Довольно скоро он стал популярным актёром второго плана – играл преимущественно бандитов, милиционеров, благородных отцов, влюблённых, злодеев. К наиболее лучшим работам тех лет можно отнести детектив «Колье Шарлотты», трагикомедию «Прохиндиада, или Бег на месте», драму «Противостояние», боевик «Холодное лето 53-го…», «Брат».
Настоящую славу Юрию Кузнецову обеспечил сериал «Улицы разбитых фонарей», в котором он сыграл добродушного подполковника милиции Петренко, которого оперативники между собой называют просто «Мухомор». Когда актёру поступило приглашение принять участие в съёмках этого телепроекта, никто, в том числе и режиссёр, и предполагать не мог, какую популярность он принесёт исполнителям главных ролей. Позднее актёрский состав оперов вместе со своим экранным начальником перешёл в проект под названием «Опера. Хроники убойного отдела», а потом и в «Литейный». Помимо этого культового сериала, Юрий Кузнецов снимался и в полнометражном кино. Наиболее заметные фильмы последних лет это «Особенности национальной охоты в зимний период», «Антикиллер», «Игры мотыльков», «Остров», «Розыгрыш».
