Родился 25 июня 1937 года в городе Свердловск. Предки Альберта по материнской линии, спасаясь от раскулачивания, переехали на Урал с Украины, а отца, родившегося в Польше, расстреляли как «врага народа» в 1937-м. В детстве Филозов не отличался от других мальчишек: бегал во дворе, играл в футбол, дрался. Он рано стал самостоятельным, уже в седьмом классе получив профессию токаря, и работал на заводе «Шарикоподшипник».
В 1955-м в Свердловск приехал МХТ имени А.П. Чехова и объявил набор в Школу-студию. Неожиданно для себя Альберт прошел прослушивание. Так он оказался в Москве. Ему очень нравилось учиться, несмотря на то, что студенческий быт был очень суров. На третьем курсе Филозов чуть было не снялся в кино, но в последний момент передумал.
В 1959-м актер получил диплом и до 1960-го работал в Московском драматическом театре имени К.С. Станиславского, затем перешел в театр имени Ермоловой. В тот период он женился. Альберт отслужил два года в саперном батальоне и всегда считал, что армия закаляет мужчину. На последние несколько месяцев младшего сержанта Филозова направили в «Матросскую тишину». Вскоре после демобилизации он женился во второй раз. В 1963-м снова присоединился к труппе театра имени К.С. Станиславского.
После съемок в фильме «Вид на жительство» на актера обратили внимание кинематографисты и буквально забросали его предложениями. Альберт снялся в картинах «Тихоня», «Великий укротитель», «Страх высоты», «Вам и не снилось», «Мэри Поппинс, до свидания!».
В основном Филозов играл положительных героев, однако ленты «И это все о нем» и «Тегеран-43» расширили его амплуа. Кроме того, в «послужном списке» актера есть такие работы, за которые ему стыдно («Расмус-бродяга»). А в фильме «Ленин в Париже» ему досталась роль «на преодоление».
В 1987 году Филозов встретил свою третью жену, влюбился в нее без оглядки. В начале девяностых годов актер порадовал зрителей несколькими интересными работами: «Одиссея капитана Блада», «Допинг для ангелов», «Ариэль», «Ночные забавы», роль полковника в детективе «Последняя осень».
К середине 1990-х предложений стало поступать гораздо меньше, и в освободившееся время актер начал преподавать во ВГИКе и в РАТИ.
В последние годы Филозов вновь оказался востребован, однако сейчас он подходит к выбору работ достаточно критично. Актер снимается только в качественных проектах: сериалы «Пятый ангел» и «Бедная Настя», историческая драма «Печорин. Герой нашего времени», картины «В круге первом», «Без вины виноватые».
В 2007 году Филозов дебютировал в качестве театрального режиссера: он поставил пьесу Ксении Степанычевой «2*2=5» на сцене «Школа современной пьесы».
