Актер родился 6 мая 1932 года в Москве. Родители мальчика из-за сложностей послереволюционного времени не смогли получить должного образования, но ясно видели его значение и необходимость. Именно поэтому Любовь Александровна и Борис Моисеевич постарались дать его своим детям, а их в семье было трое: старший Саша и младшие Толя и Оля. Несмотря на военные годы, Александр получил полноценное среднее школьное образование. Затем он подал документы в Московский институт цветных металлов и золота. Выбор Белявского пал на геологоразведочный факультет. Будущий актер видел в выбранной профессии своеобразную романтику. Помимо столичного обучения, студенты вуза были завсегдатаями разных уголков страны. Геологи могли поехать на практику почти в любую точку Советского Союза. Александр успешно окончил обучение и к 1955 году стал дипломированным специалистом. По принятой практике распределения будущий актер был направлен на работу в далекий Иркутск. Он обосновался в Восточно-Сибирском геологическом управлении. Вариантов проведения свободного времени было не так много, но одним из них было участие в театральной самодеятельности. Именно там, в любительском театре, Белявский впервые попробовал себя в качестве актера. Первой его работой стала роль Алексея Степановича Молчалина в постановке комедии Александра Грибоедова «Горе от ума». Спустя некоторое время Белявский вернулся в столицу, где получил должность младшего научного сотрудника в Институте НИТРИЗолото. Несмотря на переезд, полюбившееся хобби Александр не оставил. В Москве он продолжил играть роли в любительском театре. Со временем актерская профессия настолько увлекла молодого человека, что он принял решение кардинально изменить свою жизнь и подал документы в Театральный институт имени Бориса Щукина. Вступительные испытания были преодолены успешно, и Белявский стал студентом на курсе Владимира Этуша. Кинематографический дебют актера состоялся уже во время обучения на первом курсе. В 1957 году Александр был выбран на роль электротехника Николая в биографической драме Сергея Юткевича «Рассказы о Ленине». На четвертом курсе он появился в образе псевдоиностранца Фреда, на деле оказавшегося советским журналистом, в кинофельетоне режиссера Эдуарда Змойро «Иностранцы». Тогда же вместе с Лидией Федосеевой-Шукшиной Белявский сыграл главную роль в приключенческой картине Алексея Мишурина «Спасите наши души». После окончания Щукинского училища актер присоединился к труппе Театра Сатиры. Спустя три года он перешел в Театр имени Станиславского, а в 1966 году поступил в Театр-студию киноактера. Первой крупной работой стал образ пана ведущего в серии популярных юмористических передач «Кабачок «13 стульев». В 1975 году Белявский запомнился зрителям по небольшой роли Жениного друга Александра в лирической новогодней комедии Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С легким паром!», а уже через четыре года появился в образе бандита Евгения Фокса в криминальном детективе Станислава Говорухина «Место встречи изменить нельзя». В общей сложности за свою продолжительную карьеру Белявский сыграл более ста ролей в кино, был дважды женат, имел трех родных и одного приемного ребенка. Сыновья актера погибли в возрасте двух и двадцати лет. Сам Александр скончался в возрасте восьмидесяти лет в результате падения из окна и был похоронен на Кузьминском кладбище.
