Поступил в Санкт-Петербургскую государственную академию театрального искусства, которую окончил в 1996 году, получив актерское образование на курсе профессора И. Малочевской. С 1998 года актер стал работать в составе труппы Театра им. Комиссаржевской.
Александр Большаков также активно снимался в телесериалах, считая, что это позволяет актеру постоянно держаться в форме, а также пробовать себя в различных амплуа. К тому же Александру Большакову нравится общаться на съемочной площадке с другими актерами, в том числе и с весьма именитыми, приобретая полезный опыт.
На экране Александр дебютировал в 1998 году, появившись в эпизодической роли в сериале «Агент национальной безопасности». Затем в течение 2 лет снялся еще в ряде многосерийных проектов, таких как «В зеркале Венеры», «Улицы разбитых фонарей 2», «Бандитский Петербург 2: Адвокат» «Империя под ударом» и «Агент национальной безопасности 2». Первоначально актеру, обладавшему специфической внешностью, несмотря на весь его талант и театральный опыт, доставались роли исключительно бандитов.
В 2000 году Александр Большаков снялся в авторской комедии Алексея Карелина «Выход», сыграв в ней стилиста. В 2001 году на телеэкраны вышел сериал «Спецотдел» о сотрудниках ФСБ, занимающихся борьбой с контрабандой, в котором Александр уже фигурировал в главной роли, сыграв Сергея Филиппова.
В 2005 году актер снялся в серии «Морских дьяволов», затем в роли врача появился в драме Сергея Потемкина «Город без солнца» с участием Владимира Аноприенко и Сергея Безрукова, а также играл в сериале «Братва» Мизинчика. Затем Александр Большаков появился в фильмах «Оперативная разработка», «Запрет на любовь» и «Чужая». В 2010 году актер сыграл Сергея Попова, одного из трех друзей и главных героев сериала «Десант есть десант».
