Родился 31 марта 1938 года в Москве. Его отец был государственным чиновником и стал жертвой сталинских репрессий еще до рождения Александра. Так что матери, работавшей на киностудии, пришлось одной воспитывать сына. При этом мать и сына сослали в исправительный лагерь, а в столицу разрешили вернуться лишь спустя пять лет. Александр с мамой вернулись в свою, когда-то в прошлом просторную, отдельную квартиру, ставшую теперь коммунальной, им в ней выделили лишь комнату. В школе учеба Александру особо не давалась, и ему приходилось оставаться на второй год. Но при этом он увлеченно занимался спортом и проводил много времени на улице со сверстниками. В итоге среднее образование он получил лишь в 1958 году и уже нацелился стать актером. А через какое-то время благополучно поступил в Щукинское театральное училище.
В студенческие годы Збруев сдружился с Валентиной Малявиной, ставшей впоследствии актрисой. Пара поженилась в 1959 году, когда Валентине еще не исполнилось и восемнадцати. После окончания учебы в 1961 году Александр стал играть на сцене Театра имени Ленинского комсомола, а спустя пару лет, благодаря ряду спектаклей, к нему пришел первый успех. Примерно в то же время Збруев сыграл и свои первые роли в кино. Дебютной для него стала лента «Мой младший брат», а следом на экраны вышли такие фильмы, как «Путешествие в апрель», «Здравствуй, жизнь!» и «Пядь земли». В 1963-м году распался брак актера с Малявиной.
Очередная волна популярности настала в 1966 благодаря картине «Два билета на дневной сеанс». А в 1967 году Александр женился во второй раз, его избранницей стала актриса Людмила Савельева. Постепенно актерская карьера Збруева шла вверх, и к началу 70-х он стал одним из ведущих советских актеров, в свет вышли фильмы «Опекун», «Антрацит», «Марат, Лика и Леонидик», «Круг», «Романс о влюбленных» и особенно сериала «Большая перемена». Параллельно с работой на съемочной площадке он продолжал активно играть и на театральной сцене.
Расцвет творчества Збруева пришелся на 80-е годы, когда с его участием на экраны вышел целый ряд фильмов, среди которых «Кольцо из Амстердама», «Наследница по прямой», «Шел четвертый год войны...», «Тайна виллы “Грета”», «Успех», «Храни меня, мой талисман» и «Филер». Но и в 90-х годах, несмотря на тяжелое для кинематографа время, Александр продолжал успешно сниматься. Наиболее яркими работами того периода стали ленты «Ты у меня одна», «Все будет хорошо» и «Бедная Саша». Кроме того, Збруев вместе с другом открыл собственный ресторан, названный «Театральный ресторан актеров Москвы», а в 2000-м году стал преподавать в РАТИ. Несмотря на возраст, актер продолжает сниматься в кино, в 2011-м году Збруев отметился в телефильме «Вишневый сад».
