Родился 28 апреля 1949 года в Москве. Его отцом был уроженец Тифлиса, Заслуженный деятель искусств РСФСР, Лауреат Ленинской премии, известный советский драматург Анатолий Борисович Гребнев. Александр Миндадзе работал судебным секретарем. В конце 60-х он поступил на сценарный факультет Всероссийского государственного университета кинематографии имени С. А. Герасимова, который успешно окончил в 1971 году. Курс, на котором учился Миндадзе, вела советская сценаристка Екатерина Виноградская. За годы обучения начинающий автор создал несколько работ. По его сценариям были сняты короткометражные фильмы «Возвращение катера», «Это были мы» и «Тот, кто меня спас».
Первые работы Миндадзе не были похожи на модную в тот момент кинодраматургию «потока жизни». Они вообще во многом отличались от творений большинства современников. Дебютная работа, комедия 1976 года «Весенний призыв» по сценарию Александра, была снята режиссером Павлом Любимовым на киностудии им. М.Горького. Картина рисовала историю о новобранцах, призванных на армейскую службу, и о юном сержанте, которому предстояло преподать новым подопечным азы солдатской науки. Роли в фильме исполнили Александр Фатюшкин, Игорь Костолевский и Анна Каменкова.
Вскоре после того, как Александр получил диплом, началось его тесное и продолжительное профессиональное сотрудничество с режиссером Вадимом Абдрашитовым. Впервые они встретились на киностудии «Мосфильм», и результатом совместных проектов стало одиннадцать фильмов. Открыла сотрудничество Миндадзе и Абдрашитова судебная драма «Слово для защиты». Для обоих своих создателей эта лента лишь второй работой в фильмографии. Главные роли были отданы Марине Нееловой и Олегу Янковскому. Следующий фильм был переложением психологической драмы Вениамина Каверина «Поворот». Олег Янковский продолжил работу с режиссером и сценаристом, а его партнершей стала Ирина Купченко. Через два года на экраны вышел фильм-рассуждение о фатальности человеческой жизни – драма «Охота на лис». Главные роли сыграли Ирина Муравьева и Владимир Гостюхин. В 1982 году на экраны вышел фильм о крушении поезда и расследовании дела о катастрофе. Главные роли в ленте исполнили Олег Борисов и Анатолий Солоницын. Если для Анатолия эта роль стала последней в карьере, то сотрудничество с Олегом продолжилось уже в фантастической драме «Парад планет», снятой по мотивам романа украинского писателя Евгения Гуцало. Партнером Борисова по съемочной площадке стал актер и режиссер Сергей Шакуров.
Следующая работа Александра Миндадзе драма «Плюмбум, или Опасная игра» получила золотую медаль на Венецианском кинофестивале и была номинирован на премию «Ника» за лучший сценарий. Лента мгновенно получила широкий отклик зрителей и кинокритиков. На главные роли были приглашены Антон Андросов и Елена Яковлева. В 1988 году зрители увидели новую сценарную работу Александра – фантасмагорическую притчу «Слуга». Фильм был удостоен нескольких престижных кинематографических наград, включая премию «Ника». В 2005 году Миндадзе написал сценарий для драмы «Космос как предчувствие». На этот раз его партнером стал режиссер Алексей Учитель. Главные роли исполнили Евгений Миронов, Ирина Пегова и Евгений Цыганков. Работа получила приз «Золотой Георгий» за лучший фильм. В 2006 году совместно с продюсером Михаилом Синевым Александр Миндадзе создал студию «Пассажир». В 2007 году он попробовал себя в роли режиссера: драма «Отрыв» была снята Александром по собственному сценарию, и критики признали ее удачной.
