Родился 25 марта 1940 года в Ленинграде. Его отец Анатолий Николаевич Прошкин был известным советским живописцем и членом Ленинградского союза художников. Среди его работ были портреты, пейзажи и жанровые композиции. Анатолий Прошкин неоднократно принимал участие в различных художественных выставках. Вскоре после рождения Саши началась война, и отец ушел на фронт, а позднее, вернувшись с войны, был награжден медалями «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией» и «За доблестный труд». Мать мальчика Анна Ефимовна была профессиональным переводчиком, но в военное время переквалифицировалась в медицинскую сестру, а после окончания войны устроилась на работу в социальный отдел Ленинградского художественного фонда. В 1941 вместе с матерью маленький Саша покинул Ленинград и уехал в эвакуацию. По дорогое в их поезд, державший путь на Кузбасс, попала бомба, но оба уцелели. Основное, что Саша позднее помнил об эмиграции – это шахты и пленные немцы. После окончания войны семья вновь объединилась и как прежде поселилась в родном Ленинграде. Мальчик рос в творческой среде. Их дом часто посещали различные художники - друзья и коллеги отца. Со школьной скамьи Саша изучал историю архитектуры, и родители видели в этом его дальнейшую профессиональную карьеру. Но, вопреки всеобщим ожиданиям, после окончания школы он подал документы в Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии, на актерский факультет, и был без труда принят на курс Бориса Зона.
Когда Прошкин, учащийся уже на последнем курсе, защищал свою дипломную работу, его заметил режиссер Театра комедии Николай Акимов и пригласил начинающего актера в свою труппу. Личность Акимова представляла собой воплощение свободомыслия и независимости. Именно его Александр впоследствии назвал своим настоящим и основным учителем. После пяти лет работы в театре Прошкин принял неожиданное решение попробовать себя в новом амплуа телевизионного режиссера. В 1968 году Александр прошел обучение на Высших режиссерских курсах при Гостелерадио СССР, после чего стал режиссером в Главной редакции литературно-драматических программ Центрального телевидения. В то время телевидение было новой, стремительно развивающейся и открывающей новые горизонты областью. Несмотря на все узкие и жесткие рамки, эта область была открыта к новым идеям. Прошкин стал одним из первых режиссеров, которые применяли монтаж при подготовке телепрограмм. Новым явлением был, в частности, и телевизионный театр. На протяжении десяти лет Александр занимался съемками телеспектаклей. В его работах были задействованы такие актеры, как Михаил Казаков, Владимир Этуш, Александр Калягин, Ролан Быков, Ирина Муравьева, Лия Ахеджакова и многие другие.
В 1975 году Прошкин стал создателем одного из первых отечественных телесериалов «Ольга Сергеевна». Лента вызвала очень противоречивые отклики: кто-то категорически ругал постановку, а кто-то осыпал ее восторженными похвалами. Следующей работой стала драма «Стратегия риска», рассказывающая об открытии нефтяных месторождений в 60-х годах. Затем появилась основанная на пьесе Джона Пристли психологическая драма «Инспектор Гулл», а после нее - советский детектив «Частное лицо». Интересной и любимой зрителями стала семейная драма «Опасный возраст» с Алисой Фрейндлих и Юозасом Будрайтисом в главных ролях. В 1986 году режиссер создал многосерийный фильм в жанре ЖЗЛ «Михайло Ломоносов». К этому жанру спустя четыре года он вновь обратился в биографической работе «Николай Вавилов». Криминальный боевик 1987 года «Холодное лето пятьдесят третьего…» получил премию «Ника» и был удостоен Государственной премии СССР. В начале 90-х на экраны вышла мелодрама с Татьяной Васильевой «Увидеть Париж и умереть». Кинематографическая работа 2000 года «Русский бунт» была показана на нескольких кинофестивалях и также принесла Прошкину ряд престижных наград. Все последующие проекты принесли режиссеру новые номинации и премии.
