Вскоре Алексей поступил в Школу-студию МХАТ на курс В.П. Маркова, которую окончил в 1965 году. Затем молодого актера приняли в труппу МХАТ, и он играл в этом театре до 1990 года (с 1987 года – в МХАТ имени Горького). Среди наиболее заметных ролей Борзунова в театре – Хлестаков в гоголевском «Ревизоре» и Лариосик в «Днях Турбиных».
Помимо театральной работы, Алексей Борзунов снимался и в кино, однако настолько заметных ролей, как в театре, за ним не числится. Тем не менее, в киномире он является очень известной личностью – благодаря своему голосу. В копилке Алексея Алексеевича – большое количество работ по озвучиванию, закадровому переводу и дублированию фильмов. Те, чье детство пришлось на девяностые, наверняка помнят голос Борзунова в диснеевских мультфильмах. Также актер озвучивал модные в постсоветское время мексиканские и бразильские сериалы. Запоминающийся голос Дока Эммета Брауна из культовой трилогии «Назад в Будущее» - также его заслуга.
Среди последних работ Алексея Алексеевича – озвучка такого персонажа, как профессор Гораций Слизнорт из фильма «Гарри Поттер и Принц-полукровка», голоса в кинолентах «Звездный путь», «Бесславные ублюдки» и «Начало».
Также Алексей Борзунов много работает как чтец текста для аудиокниг. Его голос слышен в «Белой Гвардии», книгах «Маленький принц», «Остров сокровищ», «Война Миров», «Евангелие Господа и Бог и Спаса нашего Иисуса Христа». Актер принимал участие в различных радиоспектаклях и радиопостановках. Большинство закадровых текстов на канале «Animal Planet» также озвучиваются им.
Поклонники таланта Алексея Борзунова за уникальное умение озвучивать любых персонажей, будь они утками или бандитами, мужчинами или женщинами, неофициально называют его «король дубляжа».
