Алексей Булдаков родился 26 марта 1951 года в селе Макаровка Алтайского края. Его отец работал шофером, а мать была колхозницей. Родители образцово подошли к вопросу воспитания детей, которых всего в семье было пятеро. Алексей посещал секцию по боксу и со временем получил третий юношеский разряд. С раннего детства он проявлял живой интерес к авиации и мечтал стать летчиком. Заботливые родители отвели мальчика в кружок авиамоделирования. Всем казалось, что будущая профессия Алексея выбрана окончательно и бесповоротно, однако уверенность продержалась лишь до тех пор, пока Алексей не увидел драму Леонида Лукова «Большая жизнь». Лента с Борисом Андреевым и Петром Алейниковым в главных ролях повествует о жизни шахтеров Донбасса. Булдаков настолько проникся игрой Петра Мартыновича, что мечта поступить в театральный вуз затмила прочие планы и амбиции. От старых грез о небе и полетах не осталось и следа.
В середине шестидесятых семья Булдаковых покинула родное село и переехала в Павлодар. Вскоре после переезда Алексей решил, наконец, приобщиться к миру искусства. Он подал документы в театральную студию, созданную на базе городского драматического театра им. Антона Павловича Чехова. Одновременно начинающий актер устроился работать на Павлодарский тракторный завод. После выпуска Алексей начал длинное шествие по сценам различных театров. Он играл в Павлодаре, Томске, Караганде, в Рязани. Начиная с 1985 года, Булдаков выступал в составе труппы Театра-студии при «Беларусьфильме».
Кинематографический дебют актера состоялся в 1982 году в военной ленте Леонида Макарычева «Сквозь огонь». Несмотря на неопытность, ему доверили одну из ключевых ролей. Затем Булдаков снимался в драме Адольфа Бергункера «Родился я в Сибири», где сотрудничал с Игорем Квашой и Алексеем Жарковымон. Через год его коллегами по съемочной площадке стали Нина Усатова и Александр Кузнецов в музыкальной комедии Сергея Овчарова «Небывальщина». Этот же год ознаменовался для Алексея главной ролью в историко-биографической ленте Николая Гусарова «Семен Дежнев», рассказывающей о жизни русского путешественника. 1984-ый оказался не менее щедрым на достойные проекты. На экраны вышла драма Александра Муратова «Восемь дней надежды», в которой помимо Будлакова снялась целая плеяда известных актеров: Валентин Гафт, Николай Караченцев, Дмитрий Харатьян и другие. Следом свет увидела экранизация мемуаров генерал-майора Алексея Федоровича Федорова «В лесах под Ковелем», где Булдаков опять сыграл центрального персонажа.
В 1985 году состоялось первое сотрудничество Алексея Ивановича с режиссером Александром Рогожкиным. Актер получил небольшую роль шофера Максимыча в военной мелодраме «Ради нескольких строчек». Через четыре года Булдаков и Рогожкин встретились на съемках драмы о дедовщине в армии «Караул». Но настоящую популярность и безусловный успех снискал их следующий совместный проект – комедия «Особенности национальной охоты». Лента стала одной знаковых картин того периода и принесла всенародную любовь актерскому составу, а образ генерала Михалыча в исполнении Булдакова по сей день остается ярчайшей работой в карьере артиста.
