С детства Алексей мечтал стать артистом и пародировал всех окружающих, причем весьма удачно. Выбор профессии был для него очевидным, поэтому после окончания школы документы были поданы в Ленинградский институт театра, музыки и кинематографии (ныне Санкт-Петербургская государственная академия театрального искусства), который он успешно окончил в 1994 году. У актера есть и еще одно образование, параллельно с учебой в театральном он познавал тонкости классического вокала в Ленинградской консерватории имени Римского-Корсакова.
По окончании обучения Алексей стал играть на сцене театра имени Моссовета. В его послужном списке участие в таких постановках, как «Недоросль» (Митрофан), «Двенадцатая ночь» (Фабиан), «Потоп» (Страттон) и других.
Неизвестно, как сложилась бы дальше карьера актера, если бы его не «приметил» Александр Ширвиндт. Он пригласил его в свой театр сатиры, в труппе которого Колган состоял с 2001 по 2009 год. Алексею сразу было предложено участие в спектакле «Андрюшка», посвященном А. Миронову. В постановке актер исполнил роли Виталия Вульфа и Никиты Михалкова. Также он был занят в постановках «Нам все еще смешно» (Ахмадулина), «Бешеные деньги» (Глумов), «Свободу за Любовь!» (Гистерий) и других.
Игра Колгана на театральной сцене была по достоинству оценена критиками, но по-настоящему он прославился, озвучив харизматичного персонажа Хрюна Моржова в телевизионной передаче «Тушите свет». За эту работу в 2001 году съемочная группа получила премию «ТЭФИ». А в 2002 году премия «ТЭФИ» досталась лично Колгану как лучшему ведущему юмористической программы. Однако карьера Алексея как мастера озвучки началась гораздо раньше.
С конца 90-х годов актер принял участие в озвучке нескольких сотен полнометражных картин, сериалов, мультипликационных фильмов, став чрезвычайно востребованным в этой сфере. А в 2001 году режиссер дубляжа Ярослава Турылева пригласила его озвучить главного героя мультфильма «Шрек». По признанию Турылевой, изначально кандидатура Колгана вызывала большие сомнения у супервайзера «Dream Works», так что ей даже пришлось настоять на своем решении. Но после того, как работа состоялась, компания признала Алексея лучшим актером, когда-либо озвучивавшим Шрека во всем мире.
Колган озвучивал видеоигры, социальную рекламу (Белка из «Адской белочки»), а также все кассовые зарубежные фильмы, выходившие в российский прокат: серия фильмов «Гарри Поттер», «Банды Нью-Йорка», «Брюс Всемогущий», «Матрица», «Очень страшное кино», «Властелин колец» и сотни других.
В 2009 году совместно с А. Максимковым он был ведущим программы «Фамилия». Начиная с 2000-х годов, ежегодно на экран выходит по несколько фильмов и сериалов с участием актера, среди которых такие ленты, как «Глянец» (2007), «Бешеная» (сериал, 2007), «Аферисты» (2008), «Грязная работа» (сериал, 2009), «Москва. Центральный округ 3» (сериал, 2010) и многие другие.
