Алексей Кортнев родился 12 октября 1966 года в Москве в семье математиков. Его мать занималась изданием научных журналов, а отец на протяжении долгого времени работал ученым секретарем отделения информатики Академии наук. Родители, как и сам Алексей, никогда не сомневались, что мальчик пойдет по их стопам. После окончания школы с углубленным изучением английского языка Кортнев успешно сдал экзамены на механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова.
Практически сразу после поступления будущий музыкант устроился в Студенческий театр, о чем всерьез задумался еще при выборе вуза. Первой сценической работой Кортнева стало участие в спектакле «Синие кони на красной траве». Дебютанту досталась ответственная роль молодого Владимира Ильича Ленина. Чересчур смелую по тем временам постановку поначалу запретили к показу, но позднее партийный комитет дал добро. Затем последовали спектакли «Дон Гуан» и «Шаги командора». В ту пору Алексей практически жил в театре. Здесь он познакомился с Валдисом Пельшем, что неожиданно привело к образованию творческого тандема. Изначально молодые люди организовали ансамбль, который играл аккомпанирующую музыку за кулисами, но уже через несколько месяцев появился дуэт «Несчастный случай». Тем временем у Кортнева наметились серьезные проблемы с учебой. Даже первая сессия далась ему с огромным трудом – все оценки оказались удовлетворительными, что вдвойне удивляло по сравнению со сплошными пятерками в школьном аттестате. На втором курсе студенческий театр отправился в длительные гастроли, и учиться Алексею было абсолютно некогда. Особенно тяжело отчисление из МГУ восприняли его родители, но молодой человек отнесся к произошедшему без особых сожалений. Помимо театральной деятельности, Кортнев ездил в стройотряды, предполагавшие посещение глубинки, возведение коровников и обустройство прочего хозяйства. Эта деятельность помогала Кортневу немного заработать.
Алексей принимал участие в играх КВН в составе университетской команды, а затем получил приглашение на телевидение. Как позднее рассказывал музыкант, это случилось в результате случайного стечения обстоятельств. Один из его друзей работал на телеканале АТВ в качестве стажера. Кортнев и Пельш отнесли туда снятый ими видеоклип, который попал к руководителю Анатолию Малкину. Он предложил молодым людям снимать клипы и рекламные ролики, а затем друзья начали редактировать выпуски программы «Сумасшедший понедельник», сменив тандем Диброва-Сталирова. Кроме того, Кортнев и Пельш стояли у истоков программы Русского Радио «Золотой граммофон». В 1990 году Алексей принял участие в создании юмористической передачи «Оба-на!», а позднее успешно сотрудничал с комическим театром «Квартет И». Благодаря «Квартету И» свет увидели такие популярные проекты, как «День радио» и «День выборов». Сам Кортнев появился в образе камео в фильме «О чем думают мужчины».
Алексей неоднократно вступал в брак. Его первой супругой стала певица и поэтесса Ирина Богушевская. Затем он узаконил отношения с актрисой Юлией Рутберг. В настоящее время Кортнев женат на спортсменке по художественной гимнастике Амине Зариповой.
