Родился 18 февраля 1975 года в Ленинграде. В детстве серьезно занимался плаванием и легкой атлетикой, много времени проводил на улице. С ранних лет Алексея интересовало драматическое мастерство, он любил подолгу смотреть фильмы, наблюдая за поведением актеров. После школы Осипов поступил в Санкт-Петербургскую академию театрального искусства, в мастерскую Л.А. Додина.
На телеэкранах Алексей появился в 2001 году. Он сыграл в очень популярных сериалах «Русский спецназ» (Дроздов), «Бандитский Петербург-4» (Арестант), «Не ссорьтесь, девочки!» (Рома). Первые роли носили скорее эпизодический характер, однако фактурный и талантливый актер с мужественной внешностью обратил на себя внимание режиссеров. В 2003 году Алексей исполнил Никиту Хворостова, простого и очень доброго, но немного грубоватого русского богатыря, который служит конюхом у барона Корфа, в сериале «Бедная Настя». Никита влюблен в главную героиню – Анну. Эта роль обеспечила Осипову узнаваемость и славу у широкого зрителя.
В последующие годы актер играл полицейских или бандитов в фильмах и сериалах остросюжетного, криминального характера. Одна из наиболее запомнившихся работ Алексея – Иван Волков в ленте «Двое из ларца». Следует также отметить образ гонщика Олега Руденцова из романтичной мелодрамы «Всегда говори всегда». Осипов мастерски воплотил капитана третьего ранга Александра Бурлака в популярном сериале «Морские дьяволы 3», оперуполномоченного Ивана Титова в телепроекте «Товарищи полицейские».
Среди наиболее интересных отрицательных персонажей, сыгранных Алексеем – роли бывшего зека Виктора в картине «Коммуналка» и бандита Лелика в ленте «Дубля не будет».
Поддерживать необходимую для работы форму Осипову помогает спортивный образ жизни, которого он придерживается с самого детства. Алексей не представляет своей день без закаливающих процедур и фитнеса, не курит и не пьет, правильно питается. Например, на съемочную площадку он всегда заказывает полезные продукты (морепродукты, овощи, фрукты), предпочитая их традиционному «сухому пайку». Многие коллеги, работавшие с Алексеем, отмечают его кулинарные таланты: особенно хорошо ему удается копченый угорь.
Среди киноработ Алексея стоит выделить сериалы «Очкарик» (Сергей), «Шоковая терапия», «Оружие».
