Родился 18 октября 1957 года в городе Жуковский Московской области.
Анатолий не мечтал о кинематографе c детства. Его профессиональные устремления были связаны с миром финансов. В 1980 году он получил высшее образование в Московском финансовом институте, прошел курс повышения квалификации во Всесоюзной академии внешней торговли. Фундаментальные экономические знания не раз пригодились ему в дальнейшем.
С 1982 по 1986 год Анатолий работал в Управлении Государственных кредитов Внешторгбанка СССР. В 1987 году он стал исполнительным директором Творческо-производственного центра Академии творчества СССР. С этого момента и началась новая жизнь Сивушова. В Творческо-производственном центре он проработал до 1992 года.
В 1991 году Анатолий возглавил Ассоциацию каскадеров России. Результатом сотрудничества с лучшими российскими каскадерами стали известные отечественные и зарубежные ленты. Совместная работа с американскими и английскими кинокомпаниями принесла ощутимые результаты: богатый опыт, известность и участие в создании таких картин, как «Золотой глаз», «Полицейская академия-7», «Превосходство Борна», «Приключения королевского стрелка Шарпа» и многих другие.
Первым отечественным фильмом Сивушова стал «Крестоносец», где он в качестве продюсера работал совместно с Александром Иншаковым. В момент своего выхода на большой экран в 1995 году лента стала прорывом в российском кинематографе. Напоминающий голливудский боевик, «Крестоносец» рассказывал историю о профессиональном каскадере, который в одиночку борется с наркомафией. Успех фильма был оглушительным, а в 1998 году на экраны вышел «Крестоносец-2», носящий уже комедийный характер.
Впоследствии совместно с Иншаковым продюсер участвовал в создании исторической драмы «Рыцарский роман» (2000), чей сценарий является вольным изложением романа Вальтера Скотта «Граф Роберт Парижский».
Но наибольшей продюсерской удачей Сивушова общепризнано считается сериал «Бригада» (2002). Этот проект принес Анатолию и сопродюсерам проекта премии «ТЭФИ» и «Золотой орел». Многосерийная лента рассказывает о том, как четверо простых друзей волею судеб вынуждены прокладывать себе путь в криминальном мире, становясь одной из самых влиятельных группировок. Несмотря на критику, которой подверглись создатели сериала за идеализацию преступного мира, проект получил широкое признание и любовь телезрителей.
В 2003 году Сивушов основал кинокомпанию «Аватар Фильм».
В качестве продюсера Анатолий участвовал в создании таких фильмов и сериалов, как «Звездочет» (2004), «Сеть» (2008), «Неуд по любви» (2009), «Хоккейные игры» (2012) и других.
Сивушов является одним из основателей рейтинговых телевизионных проектов «Бои без правил» и «Гонки на выживание».
