Андрей Альбертович родился 25 декабря 1971 года в Брянске. Мать заведовала детской библиотекой, а отец работал директором местного кукольного театра, часто брал сына с собой в гастрольные поездки по стране. Стать актером мальчик хотел не сразу, возникали мечты вырасти военным, химиком или врачом. В школе учился плохо, исписывал страницы дневника цитатами из русского рока. Андрей учился в девятом классе, когда папа отвел его в литературно-поэтический театр «Факел», именно там способности школьника были оценены, а сам Кайков утвердился в желании познавать секреты актерского мастерства в столице.
Первая попытка стать студентом знаменитого Щукинского училища успехом не увенчалась, поскольку Кайков накануне экзаменов, под впечатлением от посещенного спектакля «Беседы с Сократом» с Арменом Джигарханяном, резко поменял вступительный репертуар. Андрей возвращается в Брянск, поступает в культпросветучилище, возобновляя участие в постановках «Факела», с которым однажды отправляется в Калугу. В составе жюри на фестивале оказываются педагоги из театрального училища имени М.С. Щепки, которые обращают внимание на талантливого парня и приглашают попробовать свои силы. Так, в 1990 году, Кайков начинает учиться на курсе Николая Верещенко.
Сразу после выпуска, спустя четыре года, Андрей устраивается работать в театр «Содружество актеров Таганки», где трудится до сих пор. Театральные роли Кайкова достаточно разноплановы: царь в спектакле по сказке «Конек-горбунок», сосед в «Очень простой истории», провинциал в «Белых столбах», Рябцов во «Врагах». В карьере актера были периоды затишья, когда его не приглашали на крупные роли, в это время Кайков освоил профессии бармена и монтировщика. Одно время ставил декорации для тех спектаклей театра, в которых сам же выходил на сцену.
Первые кинопробы успешно прошел будучи студентом четвертого курса, получив эпизодическую роль в драме «Лимита» (1994) Дениса Евстигнеева. Снова появляется на телеэкране в эпоху 2000-х. Сначала эпизодические роли в сериалах «На углу, у Патриарших-2», «Семейных тайнах», «Золотом веке», «Французе», «Солдатах», затем будет несколько рекламных проектов и, наконец, в 2005 году, скетч-шоу «Дорогая передача», за которым последует возникновение «6 кадров». Разглядев в Кайкове успешного исполнителя комедийных ролей, режиссеры начнут засыпать актера приглашениями: «Кадетство», «Папины дочки», «Воронины» и так далее. В «Улицах разбитых фонарей-12» становится старшим лейтенантом Львом Глушко, то и дело попадающим в нелепые жизненные ситуации.
Среди увлечений Андрея Кайкова – горные лыжи и футбол, панически боится водить автомобиль. Трижды был женат. От второго брака с актрисой Анной Моховой у Кайкова растет сын Василий, от третьего – с журналисткой Людмилой – сыновья Валерий и Никита.
