Был рождён 22 сентября 1970 года в Москве. Его родители были учёными-физиками. В юности Андрей и не задумывался об актёрской профессии, а получив среднее образование стал студентом Московского архитектурного института. В период учёбы в котором ради дополнительного заработка Кузичев взялся вести уроки рисования и истории искусств в киношколе. Вскоре он и сам стал участвовать в постановках студенческого театра. Постепенно театральное ремесло затянуло, и Андрей оставил свой институт да сдал вступительные экзамены в ГИТИС, где стал учиться на актёрском отделении в мастерской Л. Хейфеца. Благо и родители поддержали желание сына.
После завершения учёбы в 1996 году Кузичев начал играть на сценах различных театров, среди которых «Центр драматургии и режиссуры», «Другой театр», «Театр на Малой Бронной» и Международная Конфедерация Театральных союзов. В тот период он отметился в таких постановках как «Про баб», «Утиная охота», «Три сестры», «Близость», «Двенадцатая ночь» и «Пластилин», за роль в которой в 2001 году актёр был удостоен премии «Чайка».
Дебют Андрея в кино начался с главной роли в мелодраме «Лунные поляны», которая вышла на экраны в 2002 году. Эта его работа, где он исполнил знакомую для себя роль преподавателя, была отмечена несколькими наградами. Одновременно также актёр отметился в сериалах «Семейные тайны», «Светские хроники» и «Дневник убийцы», пользовавшийся вниманием зрителей за увлекательный детективный сюжет. Очередными яркими проектами с участием Кузичева стали ленты «Папа», «Ночь светла» и сериал «Дети Арбата». Они и принесли начинающему актёру первую заметную известность. Вскоре после чего к нему поступили предложения о съёмках в сериалах «Не родись красивой», «Адъютанты любви» и «Доктор Живаго». Кроме того Андрей отметился в таких фильмах как «Май», «Райские птицы», «Первая попытка», «Про любоff» и «Гидравлика». А среди его последних работ сериалы «Черная метка», «Моя большая семья» и «Любопытная Варвара».
Долгое время Кузичев состоял в браке с актрисой Викторией Толстогановой. В этом союзе у них появилось двое детей, но спустя несколько лет пара распалась. Среди увлечений Андрея виндсерфинг и яхтинг.
