Появился на свет 8 ноября 1967 года в Оренбурге, в семье театральных артистов. Неудивительно, что Андрей с раннего возраста мечтал продолжить дело родителей. Впрочем, они были против того, чтобы их сын посвятил себя сцене. Именно поэтому Чубченко сосредоточился на другой своей страсти – медицине.
После школы он подал документы в медицинский институт. По иронии судьбы, не успев отучиться ни единого дня, Андрей отправился служить по призыву. Именно в армии он вновь обрел веру в то, что станет профессиональным актером. Дело в том, что на 23 февраля перед офицерским составом Чубченко зачитал выученный наизусть текст из какого-то литературного произведения. Командиры были настолько поражены талантом рядового, что незамедлительно присвоили ему звание сержанта. Андрей твердо решил поступать в театральный.
После демобилизации он успешно сдал испытания в Щепкинское училище (окончил в 1992 году). Отучившись, Чубченко сразу же попал в труппу МХТ. Его дебют на сцене – главная роль в постановке «Валентин и Валентина».
Андрей быстро зарекомендовал себя как талантливого актера, следует отметить такие постановки с его участием, как «Доходное место» (Жадов), «Без вины виноватые» (Незнамов), «Три сестры» (Прозоров), «Русский водевиль» (Александр).
На телеэкранах Чубченко впервые появился в 1997-м в сериале «Котовасия». В 1999 году он снялся в многосерийном телефильме «Досье детектива Дубровского» с Николаем Караченцовым в главной роли, а затем сделал пятилетний перерыв, полностью посвятив себя театру. Результат этой кропотливой работы – премия «Хрустальная роза Виктора Розова» за лучшее воплощение классики на современной сцене.
С 2004 года артист часто появляется в кино и на телевидении. Он воплотил Тухачевского в сериале «Московская сага», Павла Аллилуева в телефильме «Жена Сталина», Сергея Морозова в мини-сериале «Свой человек».
В 2007-м Чубченко принял участие в съемках крупномасштабной исторической кинопостановки Олега Ряскова «Слуга государев», а через два года отметился в фантастическом боевике Константина Максимова «Запрещенная реальность».
С 2004 года Чубченко занимается дубляжом: он озвучил Айронхайда в трилогии «Трансформеры», констебля Кларка в «Шерлоке Холмсе» Гая Ричи.
Чубченко запомнился зрителям по работам в сериалах «Путейцы», «Путейцы 2», «Шеф», «Жаркий лед» и «Слепой».
В 2012 году актер снялся в экранизации романа Джона Голсуорси «Большая мечта».
