Родился 24 октября 1945 года в городе Иваново. Отец Андрея был инвалидом по зрению и посещал драмкружок для слепых актеров. Андрей ходил на спектакли, в которых участвовал его отец – это было его первое знакомство с миром театра. После школы отправился в Москву. Пробовал поступить в Школу-студию МХАТ и Щукинское училище, но ничего не вышло, и он год проработал на стройке. В следующем году Мартынову улыбнулась удача, и он поступил в Российский университет театрального искусства – ГИТИС. Но через некоторое время Мартынову пришлось оставить учебу и исполнить свой гражданский долг: он три года отслужил в армии, объездил всю Среднюю Азию. Сразу по окончании университета пошел работать в Московский театр юного зрителя. Спустя два года перешел в Московский драматический театр на Малой Бронной.
Первой кинокартиной, в которой снялся Мартынов, стал легендарный фильм «...А зори здесь тихие» Станислава Ростоцкого, где актеру досталась роль Федота Васкова. В 1976 году Андрей сыграл эпизодическую роль в не менее популярном фильме этого же режиссера «Белый Бим Черное ухо». Позже Мартынов снялся в фильме «Без права на провал» Евгения Жигуленко, в котором ему досталась одна из главных ролей разведчика Лозового. В исторической драме «Царь Иван Грозный» Геннадия Васильева Андрею довелось сыграть Малюту Скуратова. Заметной картиной 90-х годов с участием Мартынова стала драма Юрия гРымова «Му-му», собравшая большое количество фестивальных наград. В двухтысячных годах актер почти не снимался. У него были небольшие роли в сериалах: «Ледниковый период», «Богатство» и «Сонька: Продолжение легенды».
Мартынов известен также как актер дубляжа. Он озвучил более ста двадцати фильмов. Впервые его голос зазвучал за кадром в далеком 1959 году. В 1982 году его голосом заговорил Ганди в одноименном фильме «Ганди» Ричарда Аттенборо. В 1993 году он озвучил героя Оскара Шиндлера в легендарной картине Стивена Спилберга. Также его голосом говорил Марлон Брандо в «Крестном отце». И это далеко не весь список легендарных кинолент, которые озвучил Андрей. Благодаря его голосу зритель смог прочувствовать характер и тон актеров зарубежных фильмов.
Помимо этого Мартынов реализовал себя как сценарист, режиссер и продюсер, сняв фильм «Быть Ричардом Бахом» в 2012 году. Эта документальная картина была снята в сотрудничестве с США.
Мартынов женат на гражданке Германии Франциске Тун. Они поженились в начале его карьеры в семидесятых годах. Но их брак не продлился долго, так как обоим было тяжело жить на две страны и каждого тянуло на родную землю. Официально они до сих пор не развелись, но уже давно не живут вместе. У них есть один ребенок – сын Александр.
Актеру и по настоящее время предлагают различные роли в театре и кино, но увидеть Мартынова на экранах можно все реже и реже.
