В1930 году Тутышкин окончил школу при Театре им. Вахтангова. После этого он работал в различных театрах не только как актер, но и как режиссер. В Вахтанговском театре Андрею Тутышкину досталось множество ролей: мудрец в постановке «Принцесса Тарандот», Боткин в «Аристократах», аптекарь в «Интервенции», Харитонов в «Русских людях», Антонио в постановке «Много шума из ничего», Тятин в спектакле «Егор Булычов и другие». Также он поставил такие спектакли, как «Соломенная шляпка», «Слуга двух господ», «Маскарад», «Последний день» и другие. Помимо этого, Андрей Петрович работал режиссером и в Ленинградском театре «Комедии», где под его руководством были поставлены «Добрый город», «Летний день», «Безумный день, или Женитьба Фигаро».
Актерский талант Тутышкина был замечен и кинорежиссерами. Так, в 1932 году его пригласили на эпизодическую роль в картине «Личное дело». В 1935 году он сыграл почтальона в фильме «Мяч и сердце». А в 1938 году Андрею Тутышкину досталась первая главная роль на экране в фильме «Девушка с характером». В этом же году он снялся в картинах «Ночь в сентябре» и «Личное дело». В следующем году ему досталась незначительная роль в фильме «Весенний поток».
Увидеть актерскую игру Андрея Тутышкина можно и в других картинах: «Мы с вами где-то встречались…», «К Черному морю», «Карнавальная ночь», «Матрос с Кометы», «Близнецы», «Сердца четырех», «Три встречи», «Запасной игрок». Достаточно известной стала роль Бориса Владимировича, которую актер сыграл в 1961 году в популярной комедии «Взрослые дети». Из последних работ также можно выделить «Капроновые сети», «Крыса на подносе», «Анна Каренина».
Андрей Тутышкин скончался 30 октября 1971 года и был похоронен в Москве на Головинском кладбище.
