Еще в детстве Анна вместе с семьей переехала в Минск, где ее отцу, актеру Юрию Казючицу, предложили работу в театре. С подачи отца Анна рано увлеклась театром. Уже в 1996 году она играла на сцене Белорусского Национального академического театра в главных ролях: в спектакле «Гамлет» она сыграла Офелию, а в «Щелкунчике» – Мари. Окрыленная первыми успехами, Анна в возрасте 16 лет поехала в Москву и поступила в 1999 году в Щукинское училище, где изучала актерское мастерство под руководством Евгения Князева.
Будучи студенткой, Анна получила приглашение на телевидение, где она появилась в эпизодической роли работницы аэропорта в сериале «Каменская». Вскоре она уже имела возможность засветиться в серьезном кино, снявшись в военной драме Михаила Пташука «В августе 44-го», вышедшем на экраны в 2001 году, с Владимиром Мироновым и Владиславом Галкиным в главных ролях. На роль 17-летней Авроры в сериале «Воровка 2: Счастье напрокат» 2002 года актрису порекомендовала ее преподавательница Анна Дубровская.
Также следует отметить роль Кати Соловьевой, которую сыграла актриса в военном телефильме Вячеслава Никифорова «На безымянной высоте» с Викторией Толстогановой и Алексеем Чадовым. Вышедший в 2005 году сериал «Обреченная стать звездой» сделал Анну Казючиц популярной по всей стране. Особого упоминания требует телесериал «Прощайте, доктор Чехов!» 2007 года, в котором Анна Казючиц сыграла главную роль. Более того, благодаря этой работе актриса получила приз за лучшую роль на 1-ом Международном Чеховском телефестивале в 2009 году.
В числе последних работ актрисы стоит упомянуть ее участие в съемках драмы «Дом на Английской набережной», комедии «Откуда берутся дети?», триллера «Юленька», мелодрам «Для начинающих любить» и «Проездной билет».
Кроме того, на счету Анны Казючиц участие во множестве телесериалов, таких как «Утесов. Песня длиною в жизнь», «Ставка на жизнь», «Синие ночи», «Катино счастье» и «Брат за брата».
